听说要写两页草稿纸才能做出来的题

石崇的BOSS · 发表于 2009-7-1 22:03:09

已知：实数a,b,满足a²+b²=ab+3,
求a²+3b²的值域.

战巡 · 发表于 2009-7-2 00:03:13

.........
试试新方法....
极坐标式换元——设a=pcos(x),b=psin(x)
$\\displaystyle a^2+b^2=ab+3$

$\\displaystyle p^2=p^2sin(x)cos(x)+3$

$\\displaystyle p^2=\\frac{6}{2-sin(2x)}$

$\\displaystyle a^2+3b^2=p^2+2p^2sin^2(x)=p^2(2-cos(2x))=6\\frac{2-cos(2x)}{2-sin(2x)}$

这个就好办了，后面那块就是点(2,2)到单位圆上点斜率的倒数
最后求得
$\\displaystyle 8-2\\sqrt{7}{\\le}a^2+3b^2{\\le}8+2\\sqrt{7}$

里亦维奇 · 发表于 2009-7-5 13:23:56

常规解法：
解关于b的二元一次方程a²+b²=ab+3，得b=[a±√(12-3a²)]/2
设k=a²+3b²
a²+3b²
=a²+3{[a±√(12-3a²)]/2}²
=a²+3/4*[a²±2a√(12-3a²)+12-3a²]
=a²+3/4*[-2a²±2a√(12-3a²)+12]
=a²-3/2*a²±3/2√(12-3a²)+9
=-1/2*a²±3/2√(12-3a²)+9=k
-a²±3√(12-3a²)+18=2k
±3√(12-3a²)=a²+2k-18
9a²(12-3a²)=a⁴+2a²(2k-18)+4k²-72k+324
-27a⁴+108a²=a⁴+(4k-36)a²+4k²-72k+324
28a⁴+(4k-108)a²+4k²-72k+324=0
7a⁴+(k-36)a²+k²-18k+81=0
设x=a²
则7x²+(k-36)x+k²-18k+81=0
∵△≥0
∴(k-36)²-28(k²-18k+81)≥0
k²-72k+1296-28k²+504k-2268≥0
-27k²+432k-972≥0
-k²+16k-36≥0
k²-16k+36≤0
k²-16k+64≤28
(k-8)²≤28
|k-8|≤2√7
-2√7≤k-8≤2√7
8-2√7≤k≤8+2√7
又∵7x²+(k-36)x+k²-18k+81=0必须要有非负根才能使7a⁴+(k-36)a²+k²-18k+81=0有实数解
∴36-k+√(-27k²+432k-972)≥0
√(-27k²+432k-972)≥k-36
不等式左边明显大于0，而根据上面求出的k的范围，不等式右边应小于0，所以此不等式在有意义的情况下恒成立
∴k的范围为8-2√7≤k≤8+2√7
即8-2√7≤a²+3b²≤8+2√7

里亦维奇 · 发表于 2009-7-5 13:58:14

还有这种方法也写不到2页草稿纸

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5601706 · 发表于 2009-7-5 17:27:25

顶！顶顶！！

xz5024 · 发表于 2009-7-28 11:08:18

顶啊~~~~

xcd372861108 · 发表于 2009-8-12 15:30:08

可以用三角带换
设 a^2+3b^2=t^2
所以 a=tsink,b=t√3/3cosk
所以方程为t^2sin^2k+t^2cos^k/3=t^2sinkcosk√3/3+3
转为三角来解

qtstc · 发表于 2009-8-12 18:59:54

常规方法没用到什么深奥的知识,但要我的话八成看到化出了四次方就要放弃了..

5601706 · 发表于 2009-8-12 19:19:29

我也来踩下吧..!!顶上.

yefan852 · 发表于 2009-8-12 20:53:29

强悍！！！

kuing · 发表于 2009-8-13 16:17:58

汗，显然标题党

529998060 · 发表于 2009-9-10 15:02:53

:

:yw

appletree444 · 发表于 2009-9-10 15:08:54

支持一下，呵呵。

公民龚 · 发表于 2010-5-9 22:10:54

学习了，呵呵

y_mT · 发表于 2010-5-29 19:14:18

很厉害...

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[已解决] 听说要写两页草稿纸才能做出来的题