等价无穷小证明

EMP震荡波 · 发表于 2009-7-25 15:52:29

怎么证明ⁿ√（1+x）-1~x/n（x→0）

战巡 · 发表于 2009-7-25 19:21:16

$\\displaystyle \\frac{(1+x)^{\\frac{1}{n}}-1}{\\frac{x}{n}}$

$\\displaystyle =\\frac{((1+x)^{\\frac{1}{n}}-1)((1+x)^{\\frac{n-1}{n}}+(1+x)^{\\frac{n-2}{n}}+...+1)}{\\frac{x}{n}((1+x)^{\\frac{n-1}{n}}+(1+x)^{\\frac{n-2}{n}}+...+1)}$

$\\displaystyle =\\frac{1+x-1}{\\frac{x}{n}((1+x)^{\\frac{n-1}{n}}+(1+x)^{\\frac{n-2}{n}}+...+1)}$

$\\displaystyle =\\frac{n}{(1+x)^{\\frac{n-1}{n}}+(1+x)^{\\frac{n-2}{n}}+...+1}$
当x趋于0时，下面趋于n
因此原式趋于1

EMP震荡波 · 发表于 2009-7-25 20:33:43

其实我想知道的是上面第2个等号怎么来的
我在书上看到的证明过程也是这个

战巡 · 发表于 2009-7-25 23:08:17

EMP震荡波 · 发表于 2009-7-26 11:18:10

明白了

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