活而不难的初中题

里亦维奇 · 发表于 2009-8-1 22:16:52

如图，△ABC内接于圆O，AD是直径，E是BC延长线上一点，且ED是圆O的切线，连接EO并延长，分别交AC,AB于F,G,求证：OF=OG.
(期待多解……)

战巡 · 发表于 2009-8-1 23:30:11

如图，△ABC内接于圆O，AD是直径，E是BC延长线上一点，且ED是圆O的切线，连接EO并延长，分别交AC,AB于F,G,求证：OF=OG.
(期待多解……)
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里亦维奇发表于 2009-8-1 22:16

如图：所有辅助线如图所示
不妨仿照蝴蝶定理的正法，用正弦定理试试
由正弦定理得
HF/sinFCH=HC/sinHFC
FO/sinFAO=AO/sinAFO
相除化简得到
HF/FO=(sinFCH*HC)/(sinFAO*AO)
同理有
IG/GO=(sinGBI*IB)/(sinGAO*AO)
这两式相除得到
(HF/FO)/(IG/GO)=(sinGAO/sinFAO)*(sinFCH/sinGBI)*(HC/IB)
其中sinGAO/sinFAO=BD/CD，sinFCH/sinGBI=AH/AI=ID/HD
而易证△EHC∽△EBI，HC/IB=EC/EI
△ECD∽△EBD，BD/CD=ED/EC
△EHD∽△EID，ID/HD=EI/ED
带入可得
(HF/FO)/(IG/GO)=(ED/EC)(EI/ED)(EC/EI)=1
HF/FO=IG/GO
两边加1得到
HO/FO=IO/GO，而HO=IO，因此FO=GO

qtstc · 发表于 2009-8-2 16:49:35

很想看到不用三角函数的解法

麦田小羊 · 发表于 2009-8-2 17:25:40

强大的解法

石崇的BOSS · 发表于 2009-8-3 21:22:39

初中的方法：

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xz5024 · 发表于 2009-8-3 21:38:17

look look

qtstc · 发表于 2009-8-3 21:49:07

BOSS很强大,期待看到套用蝴蝶定理的解法

石崇的BOSS · 发表于 2009-8-3 22:01:24

7# qtstc
我曾经想过用蝴蝶定理证明，但需要证明三点共线，这恰恰是我的弱项，所以等高人指点，期待中……

石崇的BOSS · 发表于 2009-8-3 22:20:26

2# 战巡
sinFCH/sinGBI=AH/AI这一步是怎么来的？

战巡 · 发表于 2009-8-3 22:51:34

2# 战巡
sinFCH/sinGBI=AH/AI这一步是怎么来的？
石崇的BOSS 发表于 2009-8-3 22:20

正弦定理啊
△ACH中，AH/sinFCH=d
△ABI中，AI/sinGBI=d

难道 · 发表于 2009-8-4 13:26:29

5# 石崇的BOSS

石崇的BOSS · 发表于 2009-8-4 23:22:49

10# 战巡
哦，明白了……

xuan2009 · 发表于 2009-8-5 09:43:26

蝴蝶定理？

948267072 · 发表于 2009-8-14 08:56:00

是用的全等？

948267072 · 发表于 2009-8-14 09:00:35

证明OAF全等于OGD
一边，一个对顶角
再证明AC平行于DG（还没证出来）

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