一个待解决的几何题

高斯门徒

对于给定的圆O和圆上ABCD四点，任意连接4个点，若这些这些直线交于LMN三点（有可能没有三点），求证:O为三角形LMN的垂心（事实上，OLMN中任取3点，则第四个点就是那三点所确定的三角形的垂心）
图如下：

qtstc

一个月前看过的= =MS要先证明个定理,具体记不得了..看来有必要重看一遍初三的书..

高斯门徒

期待高手!

948267072

那个图是怎么画的？

henrykaka

可以用调和点列的性质证

henrykaka

或者普通方法也可证明，注意到图中的多个共圆

高斯门徒

麻烦LS写下怎么证明O为三角形LMN的垂心    括号的那个事实其实是垂心组的性质

zhangyuong

我已经有别的方法证明了,也是基于调和点列

石崇的BOSS

如图，过L,D,B三点作圆，交LN延长线于E，连接OE，其他辅助线如图连接，
则∠NED=∠NBL=∠NAD，故A,E,N,D四点共圆，
设⊙O半径为r，则由圆幂定理有：
NE·NL=NB·ND=r²-ON²……①
NL·EL=LD·LA=LO²-r²……②
再结合NL=LE-EN，得出LO²-LE²=NO²-NE²
于是由余弦定理即可得出∠OEL=90°，即LN⊥OE。
因此此时有∠OEB=270°-∠BEL=270°-∠BDL
又∠BAO+∠BDA=∠BAO+∠AOF=90°⇒∠BAO=90°-∠BDA
于是∠OEB+∠BAO=270°-∠BDL+90°-∠BDA=360°-(∠BDL+∠BDA)=180°，
所以B,E,O,A四点共圆，记为⊙S，同理连接OD,EC，也能得出C,E,O,D四点共圆，记为⊙T，由于⊙O,S,T三圆两两相交，且AB与DC交于点M，故由等幂线性质知，OE延长线必过点M，即O,E,M三点共线，于是有LN⊥OM，同理MN⊥OL，于是就有O为△LMN的垂心。

oneuu

难道是传说中的高人.....一个个这么牛

高斯门徒

9# 石崇的BOSS
时隔了一年，不过还是谢谢BOSS

zyzme

学习了。
受益匪浅。