[组合]这道题我的解答是否正确？

zhangyuong · 发表于 2008-4-3 18:55:43

设a1,a2,...an为自然数1,2,...n的一个排列，证明：如果n是奇数，则乘积(a1-1)(a2-2)...(an-n)是一个偶数

证明：运用反证法
假设乘积(a1-1)(a2-2)...(an-n)是一个奇数，因为1,2,3...n的奇偶性为
奇偶奇偶奇偶...奇，奇数比偶数基数大1
由假设知a1,a2,a3...an这个排列的奇偶性必须为
偶
奇偶奇偶奇...偶,偶数比奇数的基数大1
然后a1,a2,...an为自然数1,2,...n的一个排列
因此a1,a2,a3...an这个排列的奇偶性必须与1,2,...n排列的奇偶性相同
因此总有a1,a2,a3...an这个排列总是奇数比偶数的基数大1
这与上矛盾
因此乘积(a1-1)(a2-2)...(an-n)是一个偶数

kuing · 发表于 2008-4-3 20:43:37

因为 (a1-1)+(a2-2)+...+(an-n)=0，奇数个数之和为偶数，于是必存在偶数，所以(a1-1)(a2-2)...(an-n)为偶数。

zhangyuong · 发表于 2008-4-3 21:57:35

晕，说起来我的解答到底对不对啊

kuing · 发表于 2008-4-3 22:39:04

还没认真看，有点累，明天再说。。。。:shan

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