一道几何题

高斯门徒 · 发表于 2009-8-23 20:19:42

本帖最后由 474394820 于 2009-8-23 21:26 编辑

一个三角形与垂心构成一个垂心组，即这四点任一点是其他三点所成的三角形的垂心，这可由定义立即证出，
设四个点在同一个圆上，组成四个三角形，它们的垂心与已知四点全等，每个已知点与其它三点所成垂心相连，交于一点且相互平分，这可由平行四边形画出图形即可证明，A2H1平行且相等A1H2平行且相等2*OO1，O1为A3A4中点

将垂心到九点圆的九个交点的线段延长至原来两倍，很明显这些端点在外接圆上，我们只证HH1=HH’因为全等三角形
九点圆与外接圆的外位似中心是垂心H，即垂心平分任一条从垂心到外接圆的线段
外接圆上的一点西姆松线平分这点与垂心的连线，并且平分点在九点圆上
∠PP1P2=∠PA3P2=∠PH’A1=∠H’PP1，PP1⊥A2A3所以P1X平分PL，∠HLH1=∠H1LH’=∠PLP1=∠XP1L，所以P1X||HL，所以S是PH中点

推论已知四个点共圆，每个点关于其他三点组成三角形所成西姆松线与任三个点组成三角形的九点圆交于一点S

因为设四个点在同一个圆上，组成四个三角形，个已知点与其它三点所成垂心相连有公共中心，然后对楼上进行应用

已知四条一般位置的直线，它们的外接圆共点，有且仅有一个点，它到直线的垂线的垂足共点，就是这个公共点，称为完全四边形的西姆松线，因为四条西姆松线每两条有两个点相同，重合为一条。上述四个外接圆的圆心也在一个过它们公共点的圆上。
注意第一个三角形，第四条直线在它每条边上各取一点，密克圆就是其他三个三角形的外接圆，因为所取的点共线，所以也在第一个三角形的外接圆上。任一组密克圆的圆心是与已知三角形相似的顶点，因为∠H1O2P=∠P1A2P，∠H1O2H2=∠PA2P3。
这五点共圆，设O1，O2，O3，O4分别为A1A2A3，A1B2B3，A2B1B3，A3B1B2的圆心，∠O2O1O4=∠O2O3O4=A2A1A3，∠O4PT=∠PO2O4+∠PO4O2=∠PB3B1+∠PB1B3=∠A2A1BA3=∠O2O3O4

高斯（Gauss)定理,完全四边形为对角线为直径的圆共轴。
波登密勒（Bodernmiller）定理，以完全四边形对角线为直径的圆共轴，完全四边形的四个垂心在一条直线，即上述三圆根轴。
H是ABC的垂心，所以A1H*HX1=A2*HX2=A3*HX3，Xi为垂足，同时也是这三个圆上的点，所以H为根心，同理Hi为根心，所以在一条根轴上，另外一个完全四边形的西姆松线平行垂心连线，密克点到相应点连线恰好为1/2

设已知四点A1，A2，A3，A4不共圆，也不成垂心组，记A1到A2A3垂线的垂足为P14，等等，A2A3的中点为M23等等，A1关于三角形A2A3A4的垂足圆为P12P13P14，三角形A1A2A3的九点圆通过高的垂足P34，P24，P14及各边中点M23，M21，M13。
基本密克等式：≮A2PA3=≮A2A1A3+≮P2PP3
完全四角形中的垂足三角形顺相似：
P12P13P14∽P21P23P24∽P31P32P34∽P41P42P43
由密克等式≮P12P13P14=≮A2A1A4+≮A4A3A2
≮P34P31P32=≮A4A3A2+≮A2A1A4
这表明垂足三角形的这两个角相等，而等式右边可换成≮A2A1A4+≮A4A3A2=≮A1A2A3+A3A4A2，这表明≮P21P24P23，≮P43P42P41也等于上面两个角

四个三角形的九点圆共点
设圆M12M13M24与M23M24M34再交X，则
≮M12XM23=≮M12M13M23=≮A3A2A1
≮M23XM24=≮M23M24M34=≮A4A2A3
相加≮M12XM24=≮A4A2A1=≮M12M14M24
四个点中每个点关于其他三点垂足圆也相交一点
例如：P12，P13，P14，X共圆
≮P24XP21=≮P24XM23+≮M23XP21=≮P24M13M23+≮M23M34P21
=≮A1A3，A1A2+≮A2A4，A4A3
=≮A4A2A1+≮A1A3A4
=P24P23P21

四个点A1，A2，A3，A4在一个圆上，H1，H2，H3，H4是三角形A2A3A4，等等的垂心，那么A1A2A3A4与与H1H2H3H4全等，对应边互相平行．方向相反，所以A1H1，A2H2，等等，有一个公共的中点P．更进一步，四个三角形A1A2A3．等等的九点圆都通过P。点A1，A2，A3，A4中，每一个关于其他三点所成三角形的西姆松线也都通过P。又因为Al是H2H3H4的垂心，等等，显然H1H2H3H4的各个九点圆与西姆松线也都通过P．还有，Al是三角形A2A3A4，A2H3H4，H2H3H4的垂心；类似地，对于A2，A3，A4也是这样我们将这些综合如下：设A1，A2，A3，A4为一个圆上的四点，H1．H2，H3．H4为三角形A2A3A4等等的垂心。从这八个点中选出四个下标不同的，三个取自一组，第四个取自另一组，则它们组成一个垂心组，有八个这样的垂心组．另一方面，如果所取的点全在一组，或者每一组两个，下标不同，有四对这样的圆。因此八个点在八个相等的圆上，每一个圆上有四个点。
显然，所有这样的四点组有一个公共的P点于是．例如．
这八点中，往一点关于任意三个与它共圆的点所成三角形的西姆松线，通过P点． A4关于三角形A1A2A3的西姆松线与H1关于三角形H4A2A3的西姆松线是同一条
因为每一条都通过P，也都通过A4HI与A2A3的交点
这同一条直线扮演八个不同的角色，即它是以下各点的西姆松线：
A4关于A1A2A3；H4关于H1H2H3．
H1关于A2A3A4；A1关于H2H3A4．
H2关于A3H4A1；A2关于H3A4H1.
H3关于H4A1A2；A3关于A4HlH2．
因此八组共四点的三十二条可能的西姆松线，每八条重合为一
条．实际只有四条不同的西姆松线．
类似地，八个会垂心组的九点圆交于P；因为这些圆相等，所以它们的圆心在一个以P为圆心的圆上，这八个圆心构成图形，与Ai，Hi构成的图形相似，相似比为1:2．
八个点（A），（H）中的任一个．关于任意其他三点所成三角形的垂足圆通过P.这样的圆一共应有280个；但实际上有许多是重合的。在确定有多少个已经被数过后．考察其他的．