[几何]经典难题一道

zhangyuong

PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）

我那晚在做这题，没做出来就住院了
到现在还是不会

战巡

唉....发不了图.........真麻烦~~~
这样:设PO交圆于Q,R(其中R在线段PO上),连接AQ,AR,QE,EC,CF,FR,QC
因为正面证明比较麻烦,因此这里用倒推的办法
要证明AB=CD,BC=AD,可以证明四边形ABCD为平行四边形,即证明BO=DO
要证明这个,可以证明BO/BQ=DO/DR←S△ABO/S△AQB=S△AOD/S△ADR←(AO*AB*sin∠BAO)/(AQ*AB*sin∠QAB)=(AO*AD*sin∠OAD)/(AD*AR*sin∠RAD)
而sin∠BAO=EC/d(d为圆直径),sin∠QAB=QE/d,sin∠OAD=CF/d,sin∠RAD=FR/d
←AR/AQ=(QE*CF)/(EC*FR)
显然AR=CQ,AQ=CR,而△PCF∽△PCE,△PRF∽△PQE,可得QE/FR=PQ/PF,CF/EC=PF/PC
←CQ/CR=PQ/PC
而△PRC∽△PQC,CQ/CR=PQ/PC成立
因此原题得证

石崇的BOSS

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