神奇的锈规作图

高斯门徒

1983年，D. Pedoe教授惊奇地发现，给定两个点A和B，如果它们的距离小于2，我们可以非常简单地作出点C，使得AC = BC = AB（即△ABC为等边三角形）。
     

    先以A、B为圆心分别作圆。由于它们之间的距离小于2，因此两圆必然相交。以其中一个交点P为圆心作圆，分别交圆A、圆B于点M、N。最后，圆M和圆N的交点即为所求点C。由对称性，△CAB一定是一个等腰三角形。另外，由对称性可知∠ACB=2∠BCP，而圆周角∠BCP的角度又是圆心角∠BNP的一半。由于△BNP是等边三角形，我们可以立即得到∠ACB=∠BNP=60°，△ABC是一个等边三角形。
    D. Pedoe受到启发，提出了以下问题：任给A、B两点，只用锈规是否都能作出C使得AC = BC = AB？若干年后，侯晓荣等人巧妙地解决了这个问题，并以此为基础，借用复数运算等理论，得到了一个出人意料的结论：从给定两点出发，任何尺规作图能够完成的构造，只用锈规也能完成。只用锈规作等边三角形的方法相当精彩，我在这里详细地说一下。觉得牛B的话就在下面叫个“好”。

   

    首先，我们介绍锈规的第一个比较明显的用途：找出给定两点A、B的一条由单位长线段首尾相接构成的折线段。方法不用多说，看上边这个图，从圆A上的任一点出发，我们能够用锈规不断画圆找交点，作出排列成等边三角形的点阵。总有一个时候，会有某个圆与圆B相交，此时我们所需要的折线段也就找到了。
   

    给出A、B、C三点，我们可以利用这种折线段巧妙地作出平行四边形ABDC。首先作出从A到B的折线段，再作出从A到C的折线段，然后顺次作出一个个边长为1的菱形，最终得到的点D就是所求的点。只需注意到菱形都是平行四边形，则四边形ABDC显然是一个平行四边形。
            


考虑这样一个作图问题：已知等边△PAB和等边△PCD，能否只用锈规找出点E，使得BDE也是一个等边三角形？事实上，这个E点恰好就是使得四边形APCE为平行四边形的那个点，借助上面的方法我们可以轻易作出E点的位置。利用最初等的平面几何知识，我们可以得出，如果APCE是平行四边形，则△BDE必然是一个等边三角形。

appletree444

挺好的，支持一下，呵呵。

yefan852

牛×！

5601706

哪家伙真是厉害。。

308219170

顶。。  好厉害