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[已解决] 总共可以圈出多少个正方形

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楼主
发表于 2009-8-27 18:54:38 | 只看该作者 |只看大图 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
这里给出我以前研究过的一个小题目,对高手们来说难度不大,也许对一些初学的数学爱好者有点研究的价值吧。这里纯粹给大家调剂调剂,呵呵。
10*10个钉子排成正方形的阵钉在墙上,现在有无数条橡皮筋,要求我们用一条橡皮筋圈出一个正方形,问:一共可以圈出多少个正方形?对于n*n个点来说又可以圈出多少个正方形?

如果您解出了上面一个问题,那么,如果1/2*n(n+1)个钉子排成正三角形阵列,要求圈出所有的正三角形,总共可以圈出多少个正三角形?

3*n^2-3*n+1个点排成正六边形阵列,要求圈出所有的正六边形,总共可以圈出多少个?
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沙发
发表于 2009-8-28 10:00:59 | 只看该作者
1)边长为1的有(n-1)^2
     边长为2的有(n-2)^2
     边长为3的有(n-3)^2
     .........
    即围出的正方形是(n-1)^2+(n-2)^2+(n-3)^2+.....+1=(1/6)(n-1)n(2n-1)
2)圈出正三角形也是(1/6)(n-1)n(2n-1)
3)图不太会画
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板凳
 楼主| 发表于 2009-8-28 10:11:48 | 只看该作者
请注意,围成的正方形的边不一定是与钉子的正方形阵列的边平行,也就是说正方形可以是斜的。同理,三角形和六边形也是如此。举例如图,ABCD也是其中一个正方形。

正方形.GIF (4.1 KB, 下载次数: 176)

正方形.GIF
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地板
 楼主| 发表于 2009-8-28 10:23:38 | 只看该作者
对于所谓的六边形阵列,我之前没描述清楚。就以n=3为例。如图:

六边形阵列.GIF (2.96 KB, 下载次数: 184)

六边形阵列.GIF
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5#
 楼主| 发表于 2009-8-29 18:25:09 | 只看该作者
其实这道题需要把所有的正方形进行恰当的分类,然后把这道题转换为求数列和的问题,呵呵。
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6#
 楼主| 发表于 2009-8-31 21:27:23 | 只看该作者
估计论坛这阵子会安静许多,快开学了。
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7#
 楼主| 发表于 2009-9-8 09:41:21 | 只看该作者
这么长时间无人问津,我只好自己解答了。如图,先把所有的正方形这样分类:所有的正方形的四个点一定在平行于X、Y轴的直线上,而且这些平行于X、Y轴的直线直线共同构成了一个边都是平行于X、Y轴的正方形框。如果这个正方形框的边有n个点的话,易知此框共有(n-1)个正方形,这(n-1)个正方形就是一类,而且这(n-1)个正方形只属于这个正方形框,不会属于另一个正方形框(这样就可以做到不重不漏)。现在的问题是这些框总共有多少个、多少种。对于n*n的正方形阵来说,2*2的框共有(n-1)*(n-1)个,3*3的框共有(n-2)*(n-2)个,……以此类推。
所以总共的正方形数计算公式为(n-1)*(n-1)*1+(n-2)*(n-2)*2+(n-3)*(n-3)*3+……+1*1*(n-1)
=n[(n-1)^2+(n-2)^2+(n-3)^2+……+1^2]-[(n-1)^3+(n-2)^3+(n-3)^3+……+1^3]
=n*(1/6)*n*(n-1)*(2*n-1)-(1/4)*n^2*(n-1)^2
=(1/12)*n^2*(n^2-1)

至于三角形阵和六边形阵,道理类似,为免累赘,这里就不一一详述了,呵呵。
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8#
 楼主| 发表于 2009-9-8 09:46:34 | 只看该作者
忘了附图,其实图只是示意一下而已,呵呵。

示意.GIF (7.91 KB, 下载次数: 170)

示意.GIF
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