求证两个式不能同时为完全平方数

qtstc · 发表于 2009-9-10 16:03:33

x，y都是自然数，求证：x²+y+1和y²＋4x＋3的值不能同时是完全平方数．

拜托了.

appletree444 · 发表于 2009-9-10 22:03:37

我的想法是这样的：假设x^2+y+1是完全平方数，只需证明y^2+4*x+3不可能是完全平方数即可。
不妨设x^2+y+1=x^2+2*a*x+a^2，其中a是自然数。即y+1=2*a*x+a^2，y=2*a*x+a^2-1。把它代入y^2+4*x+3中得4*a^2*x^2+4*(a^3-a+1)*x+(a^4-2*a^2+4)，如果这个式子是完全平方数的话那么x的一次项可分解为2*(2*a*x)*[(a^3-a+1)/(a)]，必须使得(a^3-a+1)/(a)是自然数n>0。即(a^3-a+1)/(a)=n。故而a^3-(n+1)*a+1=0关于a有整数解，即a*(a+1)*(a-1)-(n*a-1)=0关于a有整数解，那么n只能为1，故有(a^2+a-1)*(a-1)=0。故a=1。此时y=2*x，y^2+4*x+3=4*x^2+4*x+3=(2*x+1)^2+2，显然不是完全平方数。故而两式子的值不能同时为完全平方数。

qtstc · 发表于 2009-9-10 23:18:04

太乱了...晚上精神不好,明天早上再来看,
总之先谢谢LS

appletree444 · 发表于 2009-9-11 09:40:19

不好意思，我觉得昨天我的思路貌似有问题。我再想想吧。

qtstc · 发表于 2009-9-12 22:47:54

本帖最后由 qtstc 于 2009-9-17 21:56 编辑

下面是小爱给出的解法,很巧妙的,大家看看吧
我也来学BOSS,嘿嘿- -.....

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高斯门徒 · 发表于 2009-9-17 13:48:03

5# qtstc
是CJ的小男生？

石崇的BOSS · 发表于 2009-9-17 21:57:42

5# qtstc
是CJ的小男生？
474394820 发表于 2009-9-17 13:48

CJ是什么意思？

高斯门徒 · 发表于 2009-9-17 22:08:43

7# 石崇的BOSS
是纯洁

xz5024 · 发表于 2009-9-23 20:27:53

..........

5601706 · 发表于 2009-10-5 13:22:51

whq701 · 发表于 2010-8-8 09:29:22

:shuai:shuai

jyc06 · 发表于 2010-8-8 22:01:24

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[已解决] 求证两个式不能同时为完全平方数