请教一个定理

appletree444

一个锐角三角形ABC，边AB、BC、CA上各有一点F、D、E，求当D、E、F在什么位置时DF+DE+EF取得最小值。（原来的定理说的是当D、E、F分别是三边的垂足时可取得最小值）

appletree444

当然，最好用几何方法求解。实在不行的话才用解析几何或向量法。

战巡

一个锐角三角形ABC，边AB、BC、CA上各有一点F、D、E，求当D、E、F在什么位置时DF+DE+EF取得最小值。（原来的定理说的是当D、E、F分别是三边的垂足时可取得最小值）
appletree444 发表于 2009-10-7 12:57

如图，作△ABC外接圆O，连接AO、BO、CO，过B作圆O切线MN

这样如果D、E、F是任意点的话，那么就有
S△ABC=S四边形AFOE+S四边形BFOD+S四边形CEOD≤FE*AO+FD*BO+DE*CO=(FE+FD+DE)R
仅当FE⊥AO、FD⊥BO、DE⊥CO同时成立时等号成立

那么FE+FD+DE要取最小值，自然就要FE⊥AO、FD⊥BO、DE⊥CO同时成立
此时有FD∥MN，然后有∠DFB=∠MBF=∠ACB，A、F、D、C共圆
故∠AFC=∠ADC，∠BFC=180-∠AFC=180-∠ADC=∠ADB
同理F、E、C、B共圆，∠BFC=∠BEC，然后有∠BEC=∠ADB
同样E、D、B、A共圆，∠ADB=∠AEB，故∠BEC=∠AEB，然后有∠BEC=∠AEB=90，BE⊥AC
同理有AD⊥BC，CF⊥AB

appletree444

谢谢战巡，呵呵。好方法。  
不过“S△ABC=S四边形AFOE+S四边形BFOD+S四边形CEOD≤FE*AO+FD*BO+DE*CO=(FE+FD+DE)R”中的≤号右边应该都除以2。再次感谢战巡！

qtstc

这证法强大，出乎意料

qtstc

另想知道钝角三角形时这三点的位置是怎样的

战巡

呃.......
sorry....打错....是少了除2....

另外回楼上，钝角时好像不成三角形，而是有两个点重合在钝角顶点上，而第三个点在长边高的垂足上

qtstc

求证明= =