鬼谷子难题

castelu

一日，鬼谷子在2--100这99个数字中选了2个数字，然后把它们的和告诉了庞涓，把积告诉了孙膑。当然，庞涓不知道积是多少，孙膑不知道和是多少。 第二日，庞涓遇见孙膑很傲慢的对孙膑说："虽然我不知道这两个数是多少但是我肯定你也不知道。"孙膑立刻还击道："本来我不知道的，但是现在我知道这两个数是多少了。"庞涓想了一 会，说道："现在我也知道这两个数是多少了。" 　　
　　请问这二个数各是多少?

秘密时空

97和4

秘密时空

不对,是4和13

秘密时空

庞涓能确定孙膑肯定不知道这两个数,则他手上的数不是偶数，只可能是奇数(两个数一奇一偶)，因为任意偶数能被拆成两个质数之和(小于100),且奇数不是素数+2.其中一个数一定不是大于51的奇数,大于51的奇数始终能够与偶数和51的乘积,这个乘积只能唯一的推断出51和该偶数的乘积.则这些数剩下11，17，23，27，29，35，37，47，51，53。
孙膑知道积，并说本来不知道，但现在知道了.孙膑看了积后分解因式对应的所有组合的和，只可能是上述10个数中的一个。也就是10个合数拆开的乘积不与其他和数拆开乘积重合的才可能是孙膑的积.庞涓是知道和，当孙膑说了这句话的时候，庞涓说也知道这两个数字了,和有一个特点，就是除一个例外的可能积，其他所有可能的积都包含在其他9个的可能积中间，否则庞涓没有这种自信.17可以拆成（2+15），（4+13），（6+11），（8+9），（10+7），（12+5），（14+3）。 2*15=6*5，被和为11的包括了；6*11=33*2，被和为35的包括了；8*9=24*3，和为27；10*7=35*2，和为37；12*5=20*3，和为23；14*3=21*2，和为23。惟独4*13是不能被另外所有9个数组合出来的积所覆盖。

元蛟

我看错题了，算得好辛苦啊！

石崇的BOSS

转的网上的一个解答：
假设所取的两个自然数分别为a、b，a+b=A，a*b=B
从NA的“虽然我不知道，但是我敢肯定NB也不知道。”这句话中我们可以做出以下判断：
   首先(1)A不能表示成两个质数之和,否则NB能立即判断出a、b两数。(2)A<55。因为A>=55时,A能表示为53+x的和(其中53为大于50的最小质数),如果所取得两个数为53、x，那么NB通过计算马上就能把B分解成53*x的形式，并同时判断出a、b不可能为53和x以外的数，否则a、b中有一数就会超过100，那么NA就不会说“虽然我不知道，但是我敢肯定NB也不知道。”这句话。
   然后我们可以判断A不等于55以内的偶数，因为55以内任何一个大于6的偶数都能表示成两个质数相加的形式（由哥德巴赫猜想在小于55以内都成立所得），而2、4、6很容易判断不可能是NA所知道的数。
   所以A为55以内的奇数，那么a与b必然一奇一偶。我们可以把1、3、5、7、9、13、15、19、21、25、31、33、39、43、45、49排除其等于A的可能，其中1、3太小不可能是A，其他被排除的数都能表示成“2+质数”之和的形式，所以也不会是A。
   由此我们只剩下11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53这11个数可能为A。不难验证这11个数都不能表示成两个质数之和且都小于55，所以只有在NA看到这11个数的时候，他才会说“虽然我不知道，但是我敢肯定NB也不知道。”这句话。

NA的第一次回答之后，以上的结论NB都已经推断出来(这是个重要条件)
接下来我们对这11个数中的10个排除其等于A的可能性。（1）11可分解为2+9和4+7。若最初所取的两个数是2和9，那么B可以被分解为B=2*9=3*6，这时NB就会排除3*6的可能性而做出判断(因为3+6=9，9不在11个数之列)；若a、b两个数是4和7，那么B=4*7=2*14，这时NB会排除2*14(因为a、b两数一奇一偶)而做出判断。所以若A=11，那么在2、9和4、7两组数中NB都能做出判断，这样的话NA在第二次回答时就不能判断出那两个数究竟是什么了。11被排除（2）23可分解为4+19和16+7，由于a、b两数一奇一偶，所以NB对这两种情况都能判断a、b两数，如此NA第二次也无法判断。23被排除。（3）27可分解为4+23和8+19，27被排除(原因与23相同)。(4)29=25+4=13+16。若a、b两个数是25和4，那么B=25*4=5*20=2*50，NB会排除5、20(因为20+5=25，25不在11个数之列)，也会排除2、50，所以NB对这两种情况都能判断a、b两数，如此NA第二次也无法判断。29被排除.。(5)35=4+31=16+19,35被排除(原因与23相同)。(6)37=8+29=32+5,37被排除(原因与23相同)。(7)41=4+37=16+25,若a、b两个数是4和37，那么NB能判断a、b两数，若a、b两数为16和25，则B=16*25=80*5(其他情况都为两个偶数相乘)，NB可以排除80*5而做出判断。两组数NB都能做出判断，41被排除(8)47=4+43=16+31,47被排除(原因与23相同)。(9)51=4+47=8+43,51被排除(原因与23相同)。(10)53=16+37=32+21,若a、b两个数是16和37，那么NB能判断a、b两数，若a、b两数为32和21，则B只可能等于32*21(其他情况为两个偶数相乘或有一数大于100)，两组数NB都能做出判断。53被排除（注意：我们在排除数字的时候可以发现当A=2n+质数 时，NB必能做出判断。所以我们在分解A时可有所针对，这样有利于更快排除数字）

最后我们讨论17。17=2+15=4+13=6+11=8+9=10+7=12+5=14+3，(1)当a、b为2和15时，B可以被分解为B=2*15=5*6，此时2+15=17，5+6=11，两数和都在11个数之列，所以NB无法判断。(2)当a、b为4和13时，NB可以判断。(3)当a、b为6和11时，B=6*11=2*33，NB无法判断(原因与2、15相同)。(4)当a、b为8和9时，B=8*9=24*3，NB无法判断(原因与2、15相同)。(5)当a、b为10和7时，B=10*7=2*35，NB无法判断(原因与2、15相同)。(6)当a、b为12和5时，B=12*5=3*20，NB无法判断(原因与2、15相同)。(7)当a、b为14和3时，B=14*3=2*21，NB无法判断(原因与2、15相同)。
所以只有在A=17时NB有唯一的能判断a、b的情况，此时NA第二次才能回答“现在我也知道了”这句话。且a、b两数为13和4