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里亦维奇

已知a,b为正整数，且ab+1|a²+b²，求证ab+1|a²+b²=(a,b)²,(a,b)表示a,b的最大公约数

秘密时空

设(a,b)=k,a=ck,b=dk,(c,d)=1
m²ab+m²=a²+b²,m属于正整数
代入,k²cd+1=(c²+d²)/m²
m²cd+m²/k²=c²+d²
因为左右都是整数,所以 m=nk,n属于正整数
代入,k²cd+1=(c²+d²)/n²=(c/n)²+(d/n)²
若n>1,则存在更小的数c/n和d/n
这一过程无穷,矛盾
因为n为正整数,所以n=1,得证