将军一马问题

chj5228 · 发表于 2008-4-11 20:00:41

锐角三角行,三边各任意取一点,求证:三点在什么情况下联接的三角形的周长最小

castelu · 发表于 2008-4-11 20:25:57

中点的时候吧

战巡 · 发表于 2008-4-11 20:55:59

............
设这个锐角三角形为△ABC
作△ABC外接圆O,连接AO,BO,CO,设P,Q,R分别在AB,BC,AC上,连接PQ,QR,PR,OP,OQ,OR
则可以知道S△ABC=S四边形APOR+S四边形BPOQ+S四边形CROQ
而PR*AO≥2S四边形APOR,且只有当PR⊥AO时等号成立
同理BO*PQ≥2S四边形BPOQ,CO*QR≥2S四边形CROQ,且AO=BO=CO
因此S△ABC≤0.5AO(PR+PQ+QR)=
这个等号要成立,唯一的条件是PR⊥AO,PQ⊥BO,QR⊥CO
根据这个,最后可以求出CP,AQ,BP都是△ABC的高

kuing · 发表于 2008-4-11 23:43:56

标题怎么。。。。

kuing · 发表于 2008-4-11 23:56:54

如图，我们先固定一个点D，由图，可以证明当E，F取E'，F'时周长最小，此时角DF'C=角E'F'B，角DE'A=角F'E'B，这样，由调整法，容易证明最小周长的内接三角形是光反射三角形，亦即为垂足三角形。

chj5228 · 发表于 2008-4-12 11:38:56

好像就是高线,就是不会证,用将军一马的方法做简单

120921120509 · 发表于 2011-4-23 01:07:54

本帖最后由 120921120509 于 2011-4-23 01:08 编辑

怎么这么多Kuing{:9_163:}难道是人教那个？！
我记得是高，不会证，呵呵！

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