自招解析几何

lzk05_lzk0530

给出抛物线方程x^2=4y，ABCD是其上四相异点且A和D关于y轴对称。直线BC平行于D处的切线且D到直线AB和AC距离之和是根号2倍的|AD|.

据此判断三角形ABC的形状并证明；
若三角形ABC面积是240，求A的坐标和BC的方程

高斯门徒

设A（t，t^2/4) D(-t，t^2/4）
AB：k1x-y+t^2/4-k1t=0
AC：k2x-y+t^2/4-k2t=0
根据D到直线AB和AC距离之和是根号2倍的|AD|得
绝对值k1/根号（k1^2+1)+绝对值k2/根号（k2^2+1)=根号2    （1）
易得B（4k1-t，4k1^2-2k1t+t^2/4）
    C（4k2-t，4k2^2-2k2t+t^2/4）
则BC斜率是k1+k2-t/2
直线BC平行于D处的切线得BC斜率-t/2
即k1=-k2    （2）
根据（1）和（2）得k1=-1    k2=1  即k1k2=-1
所以三角形ABC是直角三角形
（2）面积用向量外积简单