一道题目

高斯门徒

求证：tan（∏/7）tan（2∏/7）tan（3∏/7）=根号7

xz5024

解法一：
设k∈{1,2,3},令θ=kπ/7,tan3θ+tan4θ=0
(tanθ+tan2θ)/(1-tanθtan2θ)+2tan2θ/[1-(tan2θ)^2]=0
tanθ+3tan2θ-3tanθ*(tan2θ)^2-(tan2θ)^3=0
令tanθ=x,x+6x/(1-x^2)-12*x^3/(1-x^2)^2-8*x^3/(1-x^2)^3=0
(1-x^2)^3+6*(1-x^2)^2-12*x^2*(1-x^2)-8*x^2=0
x^6-21x^4+35x^2-7=0
(tanθ)^2=(tankπ/7)^2为方程y^3-21y^2+35y-7=0三个根
(tanπ/7)^2＊(tan2π/7)^2＊(tan3π/7)^2=7
tanπ/7tan2π/7tan3π/7=√7


解法二：原式＝tanл/7tan2л/7tan3л/7

＝(sinл/7sin2л/7sin3л/7)/( cosл/7cos2л/7cos3л/7)

以下分为分子、分母两部分来求值。先求分母的值：

分母＝cosл/7cos2л/7cos3л/7

＝-cosл/7cos2л/7cos4л/7

＝-(2sinл/7cosл/7cos2л/7cos4л/7)/ 2sinл/7

＝-(2sin2л/7cos2л/7cos4л/7)/ 4sinл/7

＝-(2sin4л/7cos4л/7)/ 8sinл/7

＝-sin8л/7/ 8sinл/7＝sinл/7/ 8sinл/7＝1/8

再求分子：设t＝(sinл/7sin2л/7sin3л/7)

则t2＝(sinл/7sin2л/7sin3л/7)2

t2＝sin2л/7sin22л/7sin23л/7

∴8t2＝(1- cos2л/7)( 1- cos4л/7)( 1- cos6л/7)

＝1-(cos2л/7+cos4л/7+ cos6л/7)- cos2л/7cos4л/7 cos6л/7

+( cos2л/7 cos4л/7+ cos2л/7 cos6л/7+ cos4л/7 cos6л/7)

＝1-(cos2л/7+cos4л/7+ cos6л/7)+ cosл/7cos2л/7cos4л/7

+( cos2л/7 cos4л/7+ cos2л/7 cos6л/7+ cos4л/7 cos6л/7)

＝3/8-(cos2л/7+cos4л/7+ cos6л/7)

而cos2л/7+ cos4л/7+cos6л/7

＝(2sinл/7cos2л/7+ 2sinл/7cos4л/7+2sinл/7cos6л/7)/ 2sinл/7

＝(sin3л/7-sinл/7+ sin5л/7-sin3л/7+ sinл-sin5л/7)/ 2sinл/7

＝-sinл/7/2sinл/7
＝-1/2


∴8t^2＝7/8，又t＞0

∴t＝√7/8，∴tanл/7tan2л/7tan3л/7＝√7