自然数个数问题

高斯门徒 · 发表于 2010-2-18 13:14:47

本帖最后由 474394820 于 2010-2-18 13:25 编辑

调换一个自然数的末位和首位，一个是另一个的二倍，问这样的自然数有多少个
如果不是二倍，是任意正整数倍呢

元蛟 · 发表于 2010-2-19 08:35:37

本帖最后由元蛟于 2010-2-19 09:38 编辑

如果是第一问，那有零个。这很显然。
第二问同理

秘密时空 · 发表于 2010-2-19 11:20:58

2# 元蛟
第一问，那有零个不用证明
第二问怎么同理？

元蛟 · 发表于 2010-2-19 13:11:28

本帖最后由石崇的BOSS 于 2010-2-19 21:53 编辑

先设原来的数的数位为n，则原来的数=a*10^n-1+10x+b，后面的数=b*10^n-1+10x+a
先讨论2倍的情况，a*10^n-1+10x+b10x+b=2[b*10^n-1+10x+a],
合并同类项，得a(10^n-1-2)=b(10^2(n-1)-1)+10x
然后将左边a的系数除到右边去，得（后面的式子我不会打，就用语言简述）
并将右边化为带分数的形式，其整数部分为2b，分子为3b+10x，分母为10^n-1-2，
显然此分子不能为分母的两倍，更不可能为0，
所以3b+10x=10^n-1-2，左右模10得b=6，
所以a=13矛盾了

元蛟 · 发表于 2010-2-19 13:13:37

至于第二问呢，只要在把2换成3，4，5，6，7，8，9讨论在讨论一遍就行了。
因为数字变大了，得出矛盾更容易。一点也不麻烦

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