求证明

高斯门徒

zhangyuong

比较简单。。。先发2个引理：
用S代表面积,a,b,c三边p代表半周长即p=(a+b+c)/2
引理1(海轮公式)
众所周知，三角形面积S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)
其实这个展开之后,两边乘以16
就是2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)
这个展开就留给大家了
引理2(三角恒等式),三角形ABC中有
cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1
相当于cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC
而cos2A+cos2B=-2cosCcos(A-B)
因此cos2C-2cosCcos(A-B)=-2cosC(cos(A+B)+cos(A-B))-1
=-4cosAcosBcosC-1

zhangyuong

然后证明原题(1)第2个等式显然,证明第1个等式:
设A对的垂足是D,同理E,F
B,C,F,E四点共圆,因此EF=acosA,同理DE=ccosC,DF=bcosB
这样三角形DEF周长l=acosA+bcosB+ccosC=Σa*(b^2+c^2-a^2)/2bc=Σ(a^2b^2+a^2c^2-a^4)/2abc
=[2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)]/2abc=16S^2/2abc(引理1)
=8(abc/4R)^2/abc=abc/2R^2=2S/R=4RsinAsinBsinC

第2问:ΔAEF∽ΔABC,因此SΔAEF=SΔABC*cos^2A
同理其他,因此SΔDEF=S(1-cos^2A-cos^2B-cos^2C)=2ScosAcosBcosC(引理2)

jyc06

串比