全国高中数学联赛模拟试题

yefan852

100张卡片上分别写有数字1到100，一位魔术师把这100张卡片放入颜色分别是红色、白色、蓝色的三个盒子里，每个盒子里至少放入一张卡片。
一位观众从三个盒子中挑出两个，并从中各选取一张卡片，然后宣布这两张卡片上的两个数的和数，魔术师知道这个和数之后，便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。问：共有多少种放卡片的方法，使得这个魔术师总能够成功？（如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子，两种方法被认为是不同的）

tian27546

共有12种不同的方法. 考虑1到100之间的整数. 为简便起见, 将整数i所放入的
盒子的颜色定义为该整数的颜色. 用r代表红色, w代表白色, b代表蓝色.
    情形1. 存在某个i, 使得i,i+1,i+2 的颜色互不相同, 例如分别为rwb. 则因i+(i+3)
=(i+1)+(i+2), 所以i+3的颜色既不能是i+1的颜色w, 也不能是i+2的颜色b, 只能是r. 可
见只要三个相邻的数字有互不相同的颜色, 就能够确定下一个数字的颜色. 进一步地, 这
三个数字的颜色模式必定反复出现: rwb后面一定是r, 然后又是w, b, … 依此类推. 同理
可得上述过程对于相反方向也成立: rwb的前面一定是b, … 依此类推.
    因此, 只需确定1, 2, 3的颜色. 而这有6种不同的方法. 这6种方法都能够使魔术成功
, 因为它们的和r+w, w+b, b+r给出模3的互不相同的余数.
情形2. 不存在三个连续的数字, 其颜色互不相同. 假设1是红色的. 令i为最小的不是
红色的数字. 不妨假设i为白色的. 再设k为最小的蓝色数字, 则由假设必有i+1<k.
    如果k<100 , 因为i+k=(i-1)+(k+1), 所以k+1 一定要是红色的. 但又由于i+(k+1)=(
i+1)+k, 所以i+1 一定要是蓝色的, 与k是最小蓝色数字相矛盾. 故得k必须等于100. 换言
之, 只有100是蓝色的. 我们再来证明只有1是红色的. 不然的话, 设存在t>1是红色的, 由i+99=（i-1）+100推出99是白色的，则 由t+99=(t-1)+100推出t-1是蓝色的, 与只有100是蓝色的相矛盾.
    于是这些数字的颜色必须是rww…wwb. 而这种方法确实可行: 如果被选取的两张卡片
上的数字之和≤100, 则没有从中选取卡片的盒子一定是蓝色的; 如果数字之和等于101,
则没有从中选取卡片的盒子一定是白色的; 如果数字之和>101,则没有从中选取卡片的盒子
一定是红色的.
    最后, 共有6种按照上述样子排列颜色的方法. 故答案为12