“用解几解决的几道题目”解答

zhangyuong · 发表于 2010-2-26 23:24:19

本帖最后由 zhangyuong 于 2010-2-27 10:40 编辑

1.设三角形ABC的边为长轴的椭圆分别交边AB，AC于点E，F设M，N分别是点E，F关于直线BC的对称点，直线EN，FM交于D
求证：AD垂直BC

这个题目解析味比较重，所以用解析法是很自然的了
这里的技巧就是解x的时候，加减消元不要除过去
用线性代数的角度看，其实就是求Dx=0了
还有建系时候的技巧，为了使求A的坐标变得简单，我将原点定在了D点
这样虽然椭圆的标准方程会平移，但依然是很简洁
这样算下来的话，计算会容易很多

zhangyuong · 发表于 2010-2-27 01:13:01

本帖最后由 zhangyuong 于 2010-7-23 23:42 编辑

2.锐角三角形ABC中,AB>AC，AH是BC边上的高，M是AH中点，ΔABC内切圆圆I切BC边于D，直线DM交圆I于另一点P
则DP平分角BPC

这个题目是我一份联赛训练题二试的几何题，当然这题也是比较经典的了
这题看上去虽然解析味不重，因为要证明角平分线，用解析不容易处理
大家可以看到在我的解答中虽然是解析法，但是也用了正弦定理和内角平分线定理
用解析法主要是为了突破瓶颈，并不代表所有步骤都运用解析法解决
这里的瓶颈就是证明那个比例了
而刚好这里运用正弦定理之后就可以用解析法的斜率解决
最后运用的内切圆代换使结论证毕
技巧性较强，大家好好品位

下面有录入错误,在sinPCB/sinPBC之后,分子应该都有(tgPCB)^2和(tgPBC)^2

zhangyuong · 发表于 2010-2-27 10:33:08

本帖最后由 zhangyuong 于 2010-2-27 10:44 编辑

这个是第3题的解答

3. 过抛物线y=x^2上一点A(1,1)作抛物线切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B，点C再抛物线上，E在AC上，且AE/EC=λ1,F在BC上满足BF/FC=λ2，λ1+λ2=1,线段CD与EF交于P
当C在抛物线上移动时，求点P轨迹方程

这道题选出来的原因在问题的帖子已经说了，这里不再重复
这里主要是为大家训练计算能力
一步一步算下去还是必要的
我已经把详细过程写了出来
大家好好参考

zhangyuong · 发表于 2010-2-27 10:33:31

本帖最后由 zhangyuong 于 2010-2-27 10:45 编辑

4.三角形ABC中，AB<AC,AD，AE分别是BC边上的高和中线，D是垂足，E是BC中点
若角BAD=角CAE，则角BAC=90度

这个题目是一个数学群里一个人问我的题目
当时候我给出的解法有错误，之后的几何方法似乎都不太直接
所以为了交代就使出了解析法
这个题目应以解析法为妙，完全不用思考，而且计算也十分简单
直接可以得出射影定理，从而证明本题

zhangyuong · 发表于 2010-2-27 10:34:01

本帖最后由 zhangyuong 于 2010-2-27 10:46 编辑

这个是第5题的解答

这个是初中经典难题的其中一个了
我第一次看这种题目不知道中位线是怎么想出来的
很多人可能会说那是很基本的方法把
但我还是不同意，完全没有思索过程
所以还是运用了很自然的解析法
果然解析法只要一写出来就马上解决了问题

zhangyuong · 发表于 2010-2-27 10:37:22

本帖最后由 zhangyuong 于 2010-2-27 10:50 编辑

6.PC切圆O于点C,AC是圆O直径,PEF为圆的割线,AE,AF交直线PO于B,D则AB=CD,BC=AD

这题也是经典难题之一
实际上要证明ABCD是平行四边形，这里给出的解法是另一个等价题目的：

设AB，CD为圆O两条直径，过B作PB垂直AB，并与CD延长线相交于P
过P直线与圆O分别交于E，F两点，连AE，AF分别与CD交于G，H
则OH=OG

zhangyuong · 发表于 2010-2-27 10:37:42

本帖最后由 zhangyuong 于 2010-2-27 10:52 编辑

7.(调和点列)过点P作圆O两条割线PAB和PCD，连结AD，BC交于Q，PQ与圆交与E，F
则PE/EQ=PF/FQ

这个题目作为了08年某省初赛试题
几何方法并不容易想到，因为调和点列毕竟是现代观点
但是用解析法却相当简便
我这个问题是那篇论文的其中一个例子
因为我非常喜欢我这个解法，所以就发出来了
其中有一步A=B=C则2C=A+B
卡了我几个晚上，最终还是解决了
从而这题也解决了
请大家认真看看这题的解法

zhangyuong · 发表于 2010-2-27 11:31:14

8.从圆O外一点P引两条切线PA,PB，切点为A,B,再从点P引圆O的两条割线PCD,PEF,与圆O交于点C,D,E,F.弦CF,DE交于点G，求证：A，G,B三点共线。

也是用解析法比较好的一道题目

zhangyuong · 发表于 2010-2-27 11:32:15

9.四边形ABCD中，对角线AC平分角BAD，在CD上取点E，BE与AC交于F，延长DF交BC于G
则角GAC=角EAC

一道很经典的用解析法解决的联赛题目
这个题目是我第一次见用解析法解决几何题的例子
当时见到就觉得很神奇，可能这个对我选择解析法来作为我最后王牌有点关系把
直线很规则
解析法相当自然

zhangyuong · 发表于 2010-2-27 11:33:05

10.梯形ABCD中,已知对角线AC与腰BC相等,M是底边AB中点,L是DA延长线上一点,连LM并延长交对角线BD于点N,则角ACL=角BCN

跟第9题有点类似，这是我一份联赛训练题上的二试题
当时看着就有点像第9题，所以运用了解析法解决
发现确实很简单
但是还是有点技巧的

jyc06 · 发表于 2010-2-28 13:48:29

好贴!

appletree444 · 发表于 2010-3-7 23:08:55

很好的资料，支持一下！呵呵！

jankingyu · 发表于 2010-10-28 19:22:54

这种题目运算能力需要很高要求哦

zyzme · 发表于 2011-1-24 13:13:02

好贴呀，顶起.................................

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