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几道平面几何题目之间的小联系

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楼主
发表于 2010-3-7 13:19:27 | 只看该作者 |只看大图 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
前几天突然想到的东西,先由这个题目引入
是01年的联赛题:
如图,ΔABC中,O为外心,三条高AD,BE,CF交于点H,直线DE和AB交于M
DF和AC交于N
则OH垂直MN



这个题目解答给的是用这个结论:
PQ垂直MN的充要条件是
PM^2-PN^2=QM^2-QN^2

所以一般人也仅知道这个方法

这里我将用另一种方法来解决
主要是基于调和点列
先把题目发出来,我之后会慢慢阐述
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沙发
 楼主| 发表于 2010-3-7 17:31:40 | 只看该作者
首先介绍调和点列的内容
http://www.2math.cn/thread-1842-1-1.html
里面的第7题,我曾用解析法解决过
对于这样的比例:
PE/EQ=PF/FQ,并且E,F一个在PQ线段内,一个在PQ线段外
这样就称线段PQ被EF调和分割
而将比例改写一下
就有EP/PF=EQ/QF,因此也可以说EF被PQ调和分割
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板凳
 楼主| 发表于 2010-3-7 17:34:08 | 只看该作者
有了这个就可以正式引入这几个题目,并发掘联系了
为了证明最开始的题目,我需要证明一个引理:
圆O内接四边形ABCD,M=AC∩BD,P=AB∩CD,Q=AD∩BC

那么O是三角形PQM的垂心,或者说O,P,Q,M四点成一垂心组




关于这个引理的证明,我还需要用到另一个定理
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地板
 楼主| 发表于 2010-3-7 17:38:14 | 只看该作者
那就是这道很经典的题目:
圆内接四边形ABCD,AD∩BC=Q,AB∩CD=P,过P作圆O的两条切线PE,PF
则Q,E,F三点共线
这个题目的证明比较简单,之后补上
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5#
 楼主| 发表于 2010-3-7 17:40:45 | 只看该作者
那么根据这个定理,以及
http://www.2math.cn/forum-62-1.html



里面的第8题,设AC∩BD=M,有Q,M,E,F四点共线
并且将圆心O与P连起来
有PO垂直EF
也就是PO垂直QM
同理QO垂直PM
因此O是三角形PMQ的垂心
这样就把刚刚的引理证毕了
从而有OM垂直PQ
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6#
 楼主| 发表于 2010-3-7 17:52:17 | 只看该作者
本帖最后由 zhangyuong 于 2010-3-7 18:00 编辑

需要时间编辑~~~~~
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