另一种方法证明调和点列

zhangyuong · 发表于 2010-3-12 23:18:55

本帖最后由 zhangyuong 于 2010-3-12 23:21 编辑

现在有另一种证明调和点列
是指http://www.2math.cn/thread-1842-1-1.html
里面的第7题

过点P作圆O两条割线PAB和PCD，连结AD，BC交于Q，PQ与圆交与E，F
则PE/EQ=PF/FQ

要证明这个需要用2个引理

引理1：设P对圆O的切点弦为AB，割线PCD与AB交于E
则2/PE=1/PC+1/PB（即PE被CB调和分割）

引理2：
http://www.2math.cn/thread-1842-1-1.html
这里的第8题
也就是
8.从圆O外一点P引两条切线PA,PB，切点为A,B,再从点P引圆O的两条割线PCD,PEF,与圆O交于点C,D,E,F.弦CF,DE交于点G，求证：A，G,B三点共线。

zhangyuong · 发表于 2010-3-12 23:23:58

首先证明原题：
由引理2知A，B，M共线，则连PM交圆于G，H两点，由PCD和PEF的任意性知此时符合原题条件
我们要证明PM被GH调和分割
由引理1知2/PM=1/PG+1/PH，因此PM被GH调和分割

引理2的证明在上面的连接已经有
引理1的证明在下贴

zhangyuong · 发表于 2010-3-12 23:29:30

这个就是引理1的证明，用解析几何非常容易

战巡 · 发表于 2010-3-12 23:44:22

首先证明原题：
由引理2知A，B，M共线，则连PM交圆于G，H两点，由PCD和PEF的任意性知此时符合原题条件
我们要证明PM被GH调和分割
由引理1知2/PM=1/PG+1/PH，因此PM被GH调和分割

引理2的证明在上面的连接已经有 ...
zhangyuong 发表于 2010-3-12 23:23

无意中找到了我当年这个题的几何证法....

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