正余弦定理（１）

xuan2009

在三角形ＡＢＣ中，Ａ最大，Ｃ最小，且Ａ＝２Ｃ，ａ＋ｃ＝２ｂ，求此三角形的三边之比。

战巡

.....
过A作∠A的平分线AD
那么有∠DAB=∠C，△ABD∽△ABC
因此BD/AB=AB/BC
AB^2=BD*BC
另外由角平分线定理可得
BD/CD=AB/AC=c/b
因此BD/BC=c/(b+c)，BD=BC*c/(b+c)=ac/(b+c)
这样就有c^2=ac/(b+c)*a
a^2=bc+c^2
(a+c)(a-c)=bc
2b(a-c)=bc
2a-2c=c
a=3c/2
a+c=3c/2+c=2b
b=5c/4
因此a:b:c=3/2:5/4:1=6:5:4

xuan2009

可不可以用正余弦定理做啊？角平分线定理还没学。

战巡

角平分线定理是初中内容了....
可以用面积法证明
BD/CD=S△BAD/S△CAD=[(1/2)AB*ADsin∠BAD]/[(1/2)AC*ADsin∠CAD]
其中∠BAD=∠CAD，化简就得到
BD/CD=AB/AC

高斯门徒

sinA/sinC=2cosC=（a2+b2-c2）/（ab）=a/c
a2*b=ca2+cb2-c3即a2=bc+c2
bc=(a+c）（a-c）=2b（a-c）即2a=3c
设a=3t，c=2t 则b=5t/2
a：b：c=6:5:4