数列一

xuan2009

已知数列{an}的首项a1=1/2,前n项和Sn=n^2*an(n>=1)
求an的通项公式
设b1=0,bn=Sn-1/Sn(n>=2),Tn为数列bn的前n项和，求证：Tn<n^2/n+1

战巡

s[n]=n^2(s[n]-s[n-1])
n^2s[n-1]=(n^2-1)s[n]
ns[n-1]/(n-1)=(n+1)s[n]/n
2*s[1]/1=1=(n+1)s[n]/n
s[n]=n/(n+1)
a[n]=s[n]-s[n-1]=1/[n(n+1)]

b[n]=s[n-1]/s[n]=1-1/n^2<1-1/[n(n+1)]=1-1/n+1/(n+1)
T[n]<n-1/(n+1)=n^2/(n+1)