最小值问题

castelu · 发表于 2010-4-4 22:19:38

a,b,c正数，求
[(a+b)²+(a+b+4c)²](a+b+c)/abc的最小值

castelu · 发表于 2010-4-4 22:24:18

RE: 最小值问题

kuing · 发表于 2010-4-5 11:01:15

昨晚说的f(t)均值配凑，待定系数：
先有 f(t)/8=5+t+12/t+8/t^2=5+k*t/k+12p*1/(tp)+8*1/t^2
后三项要均值后取定值且取等条件一致，需有
t/k=1/(tp)=1/t^2 且 k-12p-16=0
解得k=64, p=4, t=4
因此 f(t)/8=5+64t/64+48/(4t)+8/t^2>=5+(64+48+8)*((t/64)^64*(1/(4t))^48*(1/t^2)^8)^(1/(64+48+8))=25/2
即f(t)>=8*25/2=100

kuing · 发表于 2010-4-5 11:08:21

如果能猜到最小值100，对f(t)-100分解，有
f(t)-100=4(t-4)^2(2t+1)/t^2>=0
...

不过问题是这个题不是完全对称，只是部分对称（a,b对称），尽管可以感觉到a=b时取最小，但与c的还不明确，不能一眼看出来，所以要直接看出100最小，估计还需要一种功力了，至少我没有。。。。

所以个人认为还是上面那种求导的思路最为正路。

kuing · 发表于 2010-4-5 11:20:23

当然昨晚我还提到，也是先知道100最小值的话，要写出来的过程极短，则对原式直接作差配方一行写下去，不过昨晚没空呵，现在来试试：

((a+b)^2+(a+b+4c)^2)(a+b+c)/(abc)-100=(((a+b)^2+(a+b+4c)^2)(a+b+c)(a-b)^2+4ab(2a+2b+c)(a+b-4c)^2)/(abc(a+b)^2)>=0

石崇的BOSS · 发表于 2010-4-5 22:29:08

昆昆就只对不等式敢兴趣……

kuing · 发表于 2010-5-10 23:58:18

呃，最近也开始搞搞其它，不过目的也是为了正好地研究不等式

石崇的BOSS · 发表于 2010-5-11 12:02:40

7# kuing
搞搞其它啥东东啊？

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