我的期中考试题（新鲜出炉）

魔女琪琪 · 发表于 2010-4-28 17:36:42

刚刚考完数学，这道题没做上，求助

魔女琪琪 · 发表于 2010-4-28 17:40:26

已知函数f(x)=1/(1-x)^n+aln(x-1)，其中n∈N*，a为常数
(I)当n=2时，求函数f(x)的极值
(II)当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f(x)≤x-1

战巡 · 发表于 2010-4-28 18:33:13

(1)
n=2时，f'(x)=2/(1-x)^3+a/(x-1)=0
如果a>0
解得x=1±Sqrt[2/a]，不过注意f(x)中存在ln(x-1)这一项，x>1是必须的，只能是x=1+Sqrt[2/a]
带入得到极值为f(1+Sqrt[2/a])=a/2+(a/2)ln(2/a)
如果a<=0，那么根本没有极值

(2)
a=1时f(x)=1/(1-x)^n+ln(x-1)
当x>=2时显然有ln(x-1)<=x-2
带入就得到f(x)<=1/(1-x)^n+x-2
另外x>=2时显然1/(1-x)^n<=1
因此f(x)<=1/(1-x)^n+x-2<=1+x-2=x-1

魔女琪琪 · 发表于 2010-4-28 18:40:41

“当x>=2时显然有ln(x-1)<=x-2”
why？

战巡 · 发表于 2010-4-28 18:50:12

.......
当x>=0时ln(x+1)<=x，这个你不会不知道吧.....
证明也很容易，直接导数就完事了

魔女琪琪 · 发表于 2010-4-29 20:40:23

(⊙o⊙)…不好意思，想明白了
但是第二问是怎样想到用这种方法的呢？:yw

战巡 · 发表于 2010-4-29 23:25:02

.........
ln(1+x)<=x这个放缩很常用的.....
看那个式子就试试咯..
结果就直接做出来了

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