完全数

castelu

古时候，自然数6是一个备受宠爱的数。有人认为，6是属于美神维纳斯的，它象征着美满的婚姻；也有人认为，宇宙之所以这样完美，是因为上帝创造它时花了6天时间……

自然数6为什么备受人们青睐呢？

原来，6是一个非常"完善"的数，与它的因数之间有一种奇妙的联系。6的因数共有4个：l、2、3、6，除了6自身这个因数以外，其他的3个都是它的真因数，数学家们发现：把6的所有美因数都加起来，正好等于6这个自然数本身！

数学上，具有这种性质的自然数叫做完全数。例如，28也是一个完全数，它的真因数有 1、2、4、7、14，而 1＋2＋4＋7＋14正好等于28。

在自然数里，完全数非常稀少，用沧海一粟来形容也不算太夸张。有人统计过，在1万到40000000这么大的范围里，已被发现的完全数也不过寥寥5个；另外，直到1952年，在2000多年的时间，已被发现的完全数总共才有12个。

并不是数学家不重视完全数，实际上，在非常遥远的古代，他们就开始探索寻找完全数的方法了。公元前3世纪，古希腊著名数学家欧几里得甚至发现了一个计算完全数的公式：如果2n-1是一个质数，那么，由公式N=2n-1(2n-1)算出的数一定是一个完全数。例如，当n＝2时，22-1=3是一个质数，于是N2=22-1(22-1)=2*3=6是一个完全数；当n=3时，N3=28是一个完全数；当n＝5时，N5=496也是一个完全数。

18世纪时，大数学家欧拉又从理论上证明：每一个偶完全数9必定是由这种公式算出的。

尽管如此，寻找完全数的工作仍然非常艰巨。例如，当n=31时，N31=231-1(231-1)=2305843008139952128，这是一个19位数，不难想像，用笔算出这个完全数该是多么困难。

直到20世纪中叶，随着电子计算机的问世，寻找完全数的工作才取得了较大的进展。1952年，数学家凭借计算机的高速运算，一下子发现了5个完全数，它们分别对应于欧几里得公式中n＝521、607、1279、2203和2281时的答案。以后数学家们又陆续发。当 n=3217、4253、4423、9689、9941、11213和19937时，由欧几里得公式算出的答案也是完全数。

到1975年，人们在无穷无尽的自然数里，总共找出了24个完全数。

在欧几里得公式里，只要2n-1是质数，2n-1(2n-1)就一定是全数。所以，寻找新的完全数与寻找新的质数密切相关。

1979年，当人们知道244497-1是一个新的质数时，随之也就知道了244496（244497-1）是一个新的完全数；1983年，人们知道286243-1是一个更大的质数时，也就知道了 286242（286243-1）是一个更大的完全数。它是迄今所知最大的一个完全数。

这是一个非常大的数，大到很难在书中将它原原本本地写出来。有趣的是，虽然很少有人知道这个数的最后一个数字是多少，却知道它一定是一个偶数，因为，由欧几里得公式算出的完全数都是偶数！

那么，奇数中有没有完全数呢？

曾经有人验证过位数少于36位的所有自然数，始终也没有发现奇完全数的踪迹。不过，在比这还大的自然数里，奇完全数是否存在，可就谁也说不准了。说起来，这还是一个尚未解决的著名数学难题呢。