裴波那契数列

castelu

背景资料

       13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波拉契，他写了一本叫做《算盘书》的著作，是当时欧洲最好的数学书。书中有着许多有趣的数学题，其中有这样的一题：
       如果一对兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔在它出生后的第 3 个月里，又能开始生一对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由一对初生的兔子开始，一年后能繁殖成多少对兔子？
      推算一下兔子的对数是很有意思的。为了叙述得有条理，我们假设最初的一对兔子出生在头一年的 12 月份。显然， 1 月份只有一对兔子，到2 月份时，这对兔子生了 1 对小兔子，总共 2 对兔子；在 3 月份里，这对兔子又生了一对小兔，总共 3 对兔子；到 4 月份， 2月份生的兔子开始生小兔了，这个月生了 2 对小兔，所以总共 5 对兔子；在 5 月份里，不仅最初的那对兔子和 2月份出生的兔子各生了一对小兔， 2 月份出生的兔子也生了 1 对小兔，总共出生了 3 对兔子，所以总共 8 对兔子……
       照这样推算下去，当然能得到题目的答案，不过，斐波拉契对这种算法很不满意，他觉得这种方法太繁琐了而且推算到最后情况复杂，稍有不慎就会出现差错。于是他又深入探索了题目中的数量关系，终于找到了一种简捷的解题方法。
      斐波拉契把推算得到的头几个数摆成一串。
1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ，……
       这串数里隐含着一个规律，从第 3 个数开始，后面的每个数都是它前面两个数的和。根据这个规律，只要作一些简单的加法，就能推算出以后各个月兔子的数目了。
       这样，要知道一年后兔子的对数是多少，也就是看这串数的第 13 个数是多少。由 5 ＋ 8 ＝ 13 ， 8 ＋ 13 ＝ 21 ，13 ＋ 21 ＝ 34 ， 21 ＋ 34 ＝ 55 ， 34 ＋ 55 ＝ 89 ， 55 ＋ 89 ＝ 144 ， 89 ＋ 144 ＝233 ，可知题目的答案是 233 对。
       按照这个规律推算出来的数，构成了数学史上有名的数列。大家都叫它“斐波拉契数列”。这个数列有许多奇特的性质，例如，从第 3 个数起，每个数与它后面那个数的比值，都很接近于0.618，正好与大名鼎鼎的“黄金分割”相吻合。人们还发现，连一些生物的生长规律，在某种假定下也可由这个数列来刻画呢。  

通项求法

F(n+2) = F(n+1) + F(n) => F(n+2) - F(n+1) - F(n) = 0
令 F(n+2) - aF(n+1) = b(F(n+1) - aF(n))
展开 F(n+2) - (a+b)F(n+1) + abF(n) = 0
显然 a+b=1 ab=-1
由韦达定理知 a、b为二次方程 x^2 - x - 1 = 0 的两个根
解得 a = (1 + √5)/2，b = (1 -√5)/2 或 a = (1 -√5)/2，b = (1 + √5)/2

令G(n) = F(n+1) - aF(n)，则G(n+1) = bG(n)，且G(1) = F(2) - aF(1) = 1 - a = b，因此G(n)为等比数列，G(n) = b^n ，即
F(n+1) - aF(n) = G(n) = b^n --------(1)

在(1)式中分别将上述 a b的两组解代入，由于对称性不妨设x = (1 + √5)/2，y = (1 -√5)/2，得到：
F(n+1) - xF(n) = y^n
F(n+1) - yF(n) = x^n
以上两式相减得：
(x-y)F(n) = x^n - y^n
F(n) = (x^n - y^n)/(x-y) = {[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}/√5

陶泰一种

在植物世界里，和花瓣相关的数字总是这么几个：3枚花瓣的鸢尾花；5枚花瓣的梅花；8枚花瓣的飞燕草；13枚花瓣的瓜叶菊；向日葵的花瓣有的是21枚，有的是34枚；雏菊的花瓣是34、55或89枚。而其他数目花瓣的花朵则很少见。

陶泰一种

比较熟悉的通项公式是：F(n+2) = F(n+1) + F(n)；

较为常见的性质：
1、F（n+1）F（n）-F（n）F（n-1）=[F（n）]^2
2、F（n+1）F（n-1）-[F（n）]^2=（-1）^2
3、[F（n）]^2+[F（n+1）]^2=F（2n+1）
4、F（m+n）=F(n-1)*F(m)+F(n)*F(m+1)，

castelu

谢谢楼上分享，使我大开眼界

泡面

还有
裴波那契数列里,每相邻两项相除所得的数,越往后这个数值就越接近黄金分割比0.618033989……

kuing

性质有很多的。。