抽象函数小题

zyzme · 发表于 2010-11-3 13:41:33

本帖最后由 zyzme 于 2014-4-12 22:04 编辑

定义在R上的函数f(x),对任意的a,b∈R都满足f(af(b))=ab.求f(2010)的值

来自群组: 高中数学兴趣小组

jankingyu · 发表于 2010-11-3 20:00:22

2010不难吧

石崇的BOSS · 发表于 2010-11-3 22:29:14

令a=0⇒f(0)=0
令a=-a⇒f(-af(b))=-ab=-f(af(b))
令af(b)=x⇒f(-x)=-f(x)
故f(x)为定义域上的奇函数，
令a=f(1)，b=1⇒f(f²(1))=f(1)⇒f²(1)=1
故f(1)=±1，
令a=b=1⇒f(f(1))=1……①
令a=1/b⇒f(f(b)/b)=1……②
由①②得出f(f(1))=f(f(b)/b)⇒f(b)=bf(1)
令b=2010⇒f(2010)=2010f(1)=±2010.

jankingyu · 发表于 2010-11-4 14:29:28

f(x)为定义域上的奇函数和故f(1)=±1。是否矛盾？？？？

石崇的BOSS · 发表于 2010-11-4 15:32:35

4# jankingyu
f(1)=±1是两种情况的时候

zyzme · 发表于 2010-11-5 07:18:57

3# 石崇的BOSS

令a=0⇒f(0)=0
令a=-a⇒f(-af(b))=-ab=-f(af(b))
令af(b)=x⇒f(-x)=-f(x)
故f(x)为定义域上的奇函数，
令a=f(1)，b=1⇒f(f²(1))=f(1)⇒f²(1)=1 这一步似乎不妥吧？没说函数单调啊？
故f(1)=±1，
令a=b=1⇒f(f(1))=1……①
令a=1/b⇒f(f(b)/b)=1……②
由①②得出f(f(1))=f(f(b)/b)⇒f(b)=bf(1) 这个好像也要用单调性？
令b=2010⇒f(2010)=2010f(1)=±2010.

石崇的BOSS · 发表于 2010-11-5 09:15:22

6# zyzme
首先知f(0)=0，
当a>b>0时，
若f(x)>0，则f(af(b))=ab>b²=f(bf(b))
又af(b)>bf(b)，故此时f(x)为增函数；
若f(x)<0，则f(x)为减函数；
∵题目中要求f(2010)的值，故只需考虑定义域为正的情况
即f(x)在(0,+∞)上为单调函数

jankingyu · 发表于 2010-11-5 13:51:05

f(x)为定义域上的奇函数、f(x)为增函数、f(x)为减函数？？？？是什么函数？

jankingyu · 发表于 2010-11-5 16:11:23

我想应该了解下函数的定义。函数概念？还有重要的是对应法则。

石崇的BOSS · 发表于 2010-11-5 18:23:39

奇函数是肯定的，f(x)在(0,+∞)上是增函数或减函数是分两种情况的

zyzme · 发表于 2010-11-5 22:24:18

7# 石崇的BOSS

恩说明了单调就可以

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