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[已解决] 抽象函数小题

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楼主
发表于 2010-11-3 13:41:33 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 zyzme 于 2014-4-12 22:04 编辑

定义在R上的函数f(x),对任意的a,b∈R都满足f(af(b))=ab.求f(2010)的值


来自群组: 高中数学兴趣小组
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沙发
发表于 2010-11-3 20:00:22 | 只看该作者
2010不难吧
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板凳
发表于 2010-11-3 22:29:14 | 只看该作者
令a=0⇒f(0)=0
令a=-a⇒f(-af(b))=-ab=-f(af(b))
令af(b)=x⇒f(-x)=-f(x)
故f(x)为定义域上的奇函数,
令a=f(1),b=1⇒f(f2(1))=f(1)⇒f2(1)=1
故f(1)=±1,
令a=b=1⇒f(f(1))=1……①
令a=1/b⇒f(f(b)/b)=1……②
由①②得出f(f(1))=f(f(b)/b)⇒f(b)=bf(1)
令b=2010⇒f(2010)=2010f(1)=±2010.
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地板
发表于 2010-11-4 14:29:28 | 只看该作者
f(x)为定义域上的奇函数和故f(1)=±1。是否矛盾????
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5#
发表于 2010-11-4 15:32:35 | 只看该作者
4# jankingyu
f(1)=±1是两种情况的时候
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6#
 楼主| 发表于 2010-11-5 07:18:57 | 只看该作者
3# 石崇的BOSS




令a=0⇒f(0)=0
令a=-a⇒f(-af(b))=-ab=-f(af(b))
令af(b)=x⇒f(-x)=-f(x)
故f(x)为定义域上的奇函数,
令a=f(1),b=1⇒f(f2(1))=f(1)⇒f2(1)=1          这一步似乎不妥吧?没说函数单调啊?
故f(1)=±1,
令a=b=1⇒f(f(1))=1……①
令a=1/b⇒f(f(b)/b)=1……②
由①②得出f(f(1))=f(f(b)/b)⇒f(b)=bf(1)          这个好像也要用单调性?
令b=2010⇒f(2010)=2010f(1)=±2010.
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7#
发表于 2010-11-5 09:15:22 | 只看该作者
6# zyzme
首先知f(0)=0,
当a>b>0时,
若f(x)>0,则f(af(b))=ab>b2=f(bf(b))
又af(b)>bf(b),故此时f(x)为增函数;
若f(x)<0,则f(x)为减函数;
∵题目中要求f(2010)的值,故只需考虑定义域为正的情况
即f(x)在(0,+∞)上为单调函数
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8#
发表于 2010-11-5 13:51:05 | 只看该作者
f(x)为定义域上的奇函数、f(x)为增函数、f(x)为减函数????是什么函数?
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9#
发表于 2010-11-5 16:11:23 | 只看该作者
我想应该了解下函数的定义。函数概念?还有重要的是对应法则。
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10#
发表于 2010-11-5 18:23:39 | 只看该作者
奇函数是肯定的,f(x)在(0,+∞)上是增函数或减函数是分两种情况的
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11#
 楼主| 发表于 2010-11-5 22:24:18 | 只看该作者
7# 石崇的BOSS


恩 说明了单调就可以
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