关于等价无穷小代换条件的一个思考

以利亚

关于等价无穷小的代换条件的一个思考

在学习高数求极限的过程中，大家都知道等价无穷小的可以代换的条件是：当代换部分是若干个因式乘积的形式时，可以用若干个等价无穷小做整体代换。当代换部分之间是代数和的形式时，一般不能代换。大概就是这个意思。
     这个意思已经表达得很明确了。就是说如果是几个因式的积的形式，它们可以用相应的等价无穷小来代替计算。当不具备这种形式时，就不一定能用。
     这个定理对计算极限很有帮助，可以节省很多精力和步骤。
     但同时做题的过程中，渐渐感觉到了：在一些代数和形式的式子中，如果予以等价无穷小的代换，结果也是正确的。来看下面2个例子。

例子1.求
$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin (xe^{-x})}{x^2}$

求解过程如下：
$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin (xe^{-x})}{x^2}$
$=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x-xe^{-x}}{x^2}$
$=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-e^{-x}}{x}$
$=1$


例子2.求
$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x\sqrt{1+\sin^2 x}-x}$

        解答过程如下：

$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x\sqrt{1+\sin^2 x}-x}$
$=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+\tan x}-1)-(\sqrt{1+\sin x}-1)}{x(\sqrt{1+\sin^2 x}-1)}$
$=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2}\tan x-\frac{1}{2}\sin x}{x\cdot \frac{1}{2}\sin^2 x}$
$=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^3}$
$=\frac{1}{2}$

     这2个例子里用到的等价无穷小都是：当x→0时，$\sin x \sim x$。例子1中两项裂开以后可以算到两个数的代数和，结果就很清楚地看出来了。但例子2，两项裂开以后，还是两个式子，必须得重新把它们再合起来才能出结果。这样以来，例子2这样裂而又合是不是多此一举哪？
     以上两个例子如果式子中的等价无穷小都直接代换的话，得到的结果也是没有偏差的，而且还来得更快捷。但这样做的前提是什么哪？能够看出原式中被代换部分是同阶无穷小的关系。是不是仅仅有这个条件就可以了？帮忙想想。

以利亚

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以利亚

图怎么弄上啊？

以利亚

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