【求教】2011年清华等五校联考自主招生模拟试卷(数学卷)

石崇的BOSS

石崇的BOSS

12题

（1）当θ取某定值时，由于|AB|-|MB|=|AC|=2cosθ（小于2sinθ）为定值，所以点M的轨迹应该是以A，B为焦点，焦距=2sinθ，实轴=2cosθ的双曲线的一支
（2）由于|MN|的最小值在M点在AB上时取得，此时|MN|=（1/2）·（|AB|-|AN|）=sinθ-cosθ=√2sin[θ-(π/4)]，当0＜θ＜π/2时，-π/4＜θ-π/4＜π/4，故f(θ)的取值范围是(-1，1)

石崇的BOSS

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2.由于x²+(b-1)x+c=0的对称轴为x=(1-b)/2
又x₁²+(b-1)x₁+c=0，x₁>0, x₂与x₁的距离大于1
故x₁必在对称轴的右边，且与对称轴的距离大于1/2，即
(1-b)/2-x₁>1/2
得到x₁<-b/2
而f(x)=x²+bx+c的对称轴为x=-b/2，开口向上
故取t属于(0,x₁)时，f(t)为减函数
因此f(t)>f(x₁)=x₁