■ 2011高考■椭圆解答题【4】

zyzme · 发表于 2011-1-24 12:45:47

本帖最后由 zyzme 于 2014-4-12 22:02 编辑

已知EF是椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的过原点，斜率存在且不为0的一条定弦，AB是过EF上定点D的弦。问：当四边形AEBF面积取得最大值时，AB是否被点D平分？
来自群组: 高中数学兴趣小组

石崇的BOSS · 发表于 2011-3-7 16:36:40

{:9_167:}{:9_169:}

zyzme · 发表于 2011-1-30 18:17:18

本帖最后由 zyzme 于 2011-4-17 00:47 编辑

这道题是不是太难了啊？

zyzme · 发表于 2011-3-7 17:58:52

英雄，这是何意啊？
{:9_147:}{:9_159:}{:9_185:}

高斯门徒 · 发表于 2011-3-9 21:26:01

作仿射变换，令x'=x/a,y'=y/b,则得仿射坐标
系 x'O'y' ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆x'2+y'2= 1
，点A、B、D、E、F分别变换为点A’、B’、D’、
E’、F’，且E’F’为圆的直径，E’F’=2.
由于椭圆的面积为πab，圆的面积为πr2=π
根据仿射变换性质有S/πab=S’/π，A’D’/D'B'=AD/DB
故S’最大值时S为最大值，此时只需算A’D’/D'B'

接下来我用解析几何算过，感觉还是复杂

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