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二次曲线的一个完美结论

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楼主
发表于 2011-2-22 22:37:38 | 只看该作者 |只看大图 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 zyzme 于 2011-2-23 15:46 编辑

已知圆E1,椭圆E2,双曲线E3,抛物线E4,记曲线E={E1,E2,E3,E4},设M是定直线L上任意一点。
若过点M可以做E的两条切线,记切点为A,B。证明:直线AB必过定点P。


注:【1】无论E与L是否相交,结论都成立。
       【2】过点M可能做不出E的两条切线。
       【3】可求出P的坐标。
       【4】这个结论在抛物线里有一点点瑕疵,不知道能不能完善。
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沙发
 楼主| 发表于 2011-2-23 16:03:21 | 只看该作者
本帖最后由 zyzme 于 2011-2-23 18:13 编辑

附图:仅供参考。
对于E1

对于E2

对于E3

对于E4




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板凳
发表于 2011-2-24 09:44:37 | 只看该作者
本帖最后由 高斯门徒 于 2011-2-24 09:56 编辑

引理:圆锥曲线极点和极线的定义已知圆锥曲线C:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0(A2+C2≠0),则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圆锥曲线C的一对极点和极线.
定理:若过极线l上一点Q可作C的两条切线,M、N为切点,则直线MN必过极点P。
回到题目中,设定直线方程为ax+bx+c=0.,圆锥曲线方程为Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0(A2+C2≠0)。即Ax0+D=a,Cy0+E=b;解得x0=(a-D)/A,y0=(b-E)/C
发现A或者C等于0时,就是抛物线了;这点瑕疵难免的

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地板
 楼主| 发表于 2011-2-24 12:28:30 | 只看该作者
看你写的也有道理,不过和我的不一样。
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5#
 楼主| 发表于 2011-2-24 15:33:09 | 只看该作者
有空我把结论写一下
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6#
发表于 2011-3-6 13:11:27 | 只看该作者
{:3_78:}{:3_78:}还真在研究二次曲线= =
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