二次曲线的二个性质--关于两类垂直弦

zyzme

[一、]若二次曲线$E$={圆，椭圆，双曲线}的中心为O，曲线上有两点M，N满足OM⊥ON，则点O到直线MN的距离OH为定值。

【1】对于圆$E_1 : x^2+y^2=r^2,OH^2=\frac{r^2}{2}$

【2】对于椭圆$E_2 : \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,OH^2=\frac{b^2}{2-e^2}$

【3】对于双曲线$E_3 : \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,OH^2=\frac{b^2}{e^2-2}$.此处要求双曲线的离心率$e^2>2$.

若$E$为抛物线：$y^2=2px$, 则直线MN过定点（2p,0）.

[二、]若二次曲线E={圆，椭圆，双曲线，抛物线}上任意一点P，过点P做E的两条弦PM和PN，使它们满足PM⊥PN，直线MN过定点。



来自群组: 高中数学兴趣小组

zyzme

过二次曲线椭圆或双曲线上任意一点$P(x_0,y_0)$，作两条弦PM和PN，满足PM⊥PN，证明直线MN过定点Q。

定点的坐标，对于椭圆$Q(-\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}x_0,\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}y_0)$， 对于双曲线$Q(-\frac{b^2+a^2}{b^2-a^2}x_0,\frac{b^2+a^2}{b^2-a^2}y_0)$

可是......可是证明不出来啊。计算量太大了，有没有啥好的方法啊？

jankingyu

椭圆仿射为圆，或许会简单点。

zyzme

jankingyu 发表于 2011-5-9 12:35
椭圆仿射为圆，或许会简单点。

这方法高深了啊

jankingyu

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上次有个题目类似的。仿射变化就是不改变图形原有的性质。

zyzme

jankingyu 发表于 2011-5-10 00:12
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上次有个题目类似的。仿射变化就是不改变图形原有的性质。

我明白，不过，这不是和高中啊。而且，我也想看看，用高中的方法到底可不可以解决，是如何解决的。