预选试题及建议

zhangyuong

1.设$P$是$\Delta ABC$内一点，并且满足$\angle PAB = \angle PBC = \angle PCA = \omega$，求证：

$3\sin \alpha = \sin(2A+\alpha) + \sin(2B+\alpha) + \sin(2C+\alpha)$

及

$\cot \omega=\cot A+\cot B+\cot C$

两条结论事实上是等价的，鉴于第二条结论更广为人知（本题即为$Brocard$点的最简单性质），所以可以以第一问作为提问

建议难度：中等偏难
建议分类：高中

考点：三角变换，塞瓦定理

zhangyuong

2.设$F$是$\Delta ABC$的费马点，记$l = FA+FB+FC$，并用$a$,$b$,$c$表示三角形的三边长。求证：

$l^2 \le ab+bc+ca$

鉴于一般学生并未接触费马点，因此可以用设问的方式引出费马点的等价定义

已知$\Delta ABC$，现分别以$AC$,$CB$,$BA$为底边，向$\Delta ABC$外作三个正三角形$BCD$,$ABF$,$CAE$。联结$AD$,$BE$,$CF$
(1)证明：$\Delta AFC \cong \Delta ABE$
(2)证明：$AD$,$BE$,$CF$三线共点
(3)记上一问(2)中所共的点为$F$,记$l=FA+FB+FC$，用$a$,$b$,$c$表示$l$的大小
(4)$l$的定义如上一问(3),证明：$l^2 \le ab+bc+ca$

其中第(3)问的点F就是本题的费马点$F$

本题难度建议：难
建议分类：高中

考点：全等三角形，线共点的证明方法，余弦定理的几何计算，几何不等式，几何量的代数化

zhangyuong

3.给定三角形的外接圆半径$R$，三角形的内切圆半径$r$，以及一条边上对应的高$h$，解三角形。

本题如果直接以解三角形的设问，则难度较大，因为要讨论变量之间大小关系，以及何时存在解，何时无解。因此可以有以下几种方式设问：

设问一：
（填空题）已知三角形$ABC$中，外接圆半径是$10$，内切圆半径是$2$，其中一条高的长度为$6$。那么这个三角形内最大的内角的大小为（弧度或角度均可）______。

建议难度：简单
建议分类：初中

设问二：
（解答题）已知一三角形$ABC$的外接圆半径$R$，三角形的内切圆半径$r$，以及一条边上的对应的高$h$。记三角形三边长分别为$a$,$b$,$c$,三角形面积为$S$。
(1)求证：$S=\frac{abc}{4R}=\frac{a+b+c}{2}r$
(2)求证对于任意定义域内的实数$x$，均有$\sin 2x=\frac{2\tan x}{1+\tan ^2 x}$
(3)用已知量$R$,$r$,和$h$表示高$h$对应的边的长度

建议难度：中等
建议分类：高中

设问三：
（解答题）已知一三角形$ABC$的外接圆半径$R$，三角形的内切圆半径$r$，以及一条边上的对应的高$h$。记三角形面积为$S$。求$S$.

建议难度：中等稍微偏上一点点
建议分类：高中

考点：三角形的面积公式，三角变换，基础几何量的计算，解三角形的讨论

zhangyuong

4.$r$和$R$,$A$分别表示三角形的内切圆半径，三角形的外接圆半径，三角形的一内角。求证：

$r \le 2R\sin \frac{A}{2}(1-\sin \frac{A}{2})$

建议难度：中等偏易
建议分类：初中或高中均可

考点：几何圆的基本性质，基本几何量的计算，几何意义

zhangyuong

5.设$\alpha,\beta,\gamma$为$\Delta ABC$的三内角，且

$\frac{\sin \beta \cos \gamma}{\sin \alpha}=\frac{\sin \gamma \cos \alpha}{\sin \beta}=\frac{\sin \alpha \cos \beta}{\sin \gamma}$

求证：$\Delta ABC$是正三角形。


建议难度：中等偏易
建议分类：高中

考点：比例的基本性质，三角变换，三角形内边与角的互化

zhangyuong

6.已知正方形$ABCD$，延长边$BC$,$DC$分别至$P$,$Q$,使$S_{\Delta CPQ}=S_{正方形ABCD}$。联结$AP$,$AQ$,并分别交边$BC$,$CD$于点$M$,$N$.求证：

$\frac{AM}{AN}=\sqrt{\frac{AB+BM}{AD+DN}}$

建议难度：难
建议分类：初中。高中作为稍微简单的问答题亦可。

考点：几何量计算，几何变换，几何基本图形的熟悉

zhangyuong

7.求所有由正整数组成的数列$\left\{a_n\right\}$，并满足：
(1)$\left\{a_n\right\}$有上界，即对任意$n \in N^+$，均有$a_n \le M$，其中$M$是一正的实数
(2)对任意$n \in N^+$，都有$a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{(a_{n+1},a_n)}$

建议难度：难
建议分类：高中

考点：数论的讨论，数列的构造

zhangyuong

8.求证：
乘积

$(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

也具有如下形式：

$A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA$

直接提问似乎过于困难，因为这题可以用矩阵乘法直接得出结果。可以换如下的提问方式：

提问一：
求证：$(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA$
其中$
\left\{ \begin{array}{l}
A=ax+bz+cy\\
B=az+by+cx\\
C=ay+bx+cz
\end{array} \right.
$
这个提问直接将结果写出来，则方向明确，难度稍微降低

提问二：
证明：如果$a$,$b$,$c$,$A$,$B$,$C$均是有理数，则总存在有理数$p$,$q$,$r$,使分式$\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA}$可以表示成$p^2+q^2+r^2-pq-qr-pr$的形式

这个提问稍微要困难一点


建议难度：难
建议分类：初中

考点：代数恒等变形

zhangyuong

9.如果$x=\frac{a}{b}+\frac{c}{d+\frac{a}{b+\frac{c}{d+\ddots}}}$,$y=\frac{c}{d+\frac{a}{b+\frac{c}{d+\frac{a}{b+\ddots}}}}$,则$bx-dy=a-c$

建议难度：中等
建议分类：初中或高中均可


9.1.如果$x=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots}}}$，求$x$的值

建议难度：简单
建议分类：初中

考点：递推思想

zhangyuong

10.设$z$,$z'$为任意两复数，记$u=\sqrt{zz'}$，求证：

$|z|+|z'|=|\frac{z+z'}{2}+u|+|\frac{z+z'}{2}-u|$

建议难度：中等偏易
建议分类：高中
考点：向量几何意义，复数的向量表示，复数运算

zhangyuong

11.设$A,B,C$是复的常数，$z$表示一复变量，证明：
$A+ \bar A + B\bar z + \bar B z + (C+ \bar C )z \bar z =0$表示的是任意圆的方程（包括退化情况）

建议难度：中等
建议分类：高中

考点：复数计算，共轭复数和复数模的关系，复数的几何意义

亦可对$A,B,C$取特殊值，然后作为填空题

设问一：
（填空题）如果$i$表示复数单位，$z$表示一复变量，那么圆的方程：$72+(5-12i)\bar z + (5+12i)z + 2z\bar z =0$所表示的圆的半径大小为_____.

建议难度：简单
建议分类：高中

zhangyuong

12.任意给定三空间向量$\vec a$,$\vec b$,$\vec c$,求证：

$\vec a \times (\vec b \times \vec c) = \vec b(\vec a \cdot \vec c) - \vec c(\vec a \cdot \vec b)$

建议难度：中等偏难
建议分类：高中

考点：向量积的计算，坐标表示

zhangyuong

13.若函数$f(x)$满足$f(x)=f(\pi-x)$，求证：

$\sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\frac{2k+1}{4n}\pi) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\frac{4k+1}{4n}\pi)$

建议难度：中等偏易
建议分类：高中

考点：抽象函数的理解和运算

zhangyuong

14.已知定义在$[0,1]$上的连续函数$f(x)$，记$B_n (f,x)=\sum\limits_{k=0}^{n} f(\frac{k}{n})C_n^k x^k(1-x)^{n-k}$。证明：

如果$m \le f(x) \le M$，那么$m \le B_n (f,x) \le M$

建议难度：中等
建议分类：高中

考点：组合恒等式

zhangyuong

15.$\Delta DEF$是$\Delta ABC$的外角平分线所交成的三角形，且$\Delta BCD$,$\Delta CAE$,$\Delta ABF$的内切圆与$\Delta ABC$各边分别切于$X$,$Y$,$Z$。求证：$DX$,$EY$,$FZ$三线共点


建议难度：难
建议分类：高中

考点：平面几何，几何基础量计算，塞瓦定理