有关1/lnx的不定积分

castelu

有关1/lnx的不定积分

　　我们知道，不定积分$\int \frac{1}{\ln x}{\rm d}x$的原函数不是初等函数。但是，我们可以得出它的级数表达式。
　　我们计算$\int \frac{1}{\ln x}{\rm d}x$的级数表达式：
利用变量代换$x=e^t$，则${\rm d}x=e^t{\rm d}t$，即有
$$\int \frac{1}{\ln x}{\rm d}x=\int \frac{e^t}{t}{\rm d}t=\int \frac{1}{t} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}{\rm d}t=\int \frac{1}{t}+\frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n!}}{t}{\rm d}t$$
$$=\ln |t|+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \int \frac{t^{n-1}}{n!}{\rm d}t（一致收敛，交换积分与求和次序）$$
$$=\ln |t|+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n \cdot n!}+C=\ln |\ln x|+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(\ln x)^n}{n \cdot n!}+C$$