笔记

zhangyuong

设$f(n)=\sum\limits_{l=1}^{n} l^k=a_{k+1}n^{k+1}+\cdots+a_{1n}+a_0$，证明由系数$a_{k+1}$,$a_k$,$\cdots$,$a_1$,$a_0$组成的列矩阵：$X=(a_1,a_2,\cdots,a_k,a_{k+1})^t$满足以下矩阵方程：

$AX=B$

其中
$B=(1,C_k^1,C_k^2,\cdots,C_k^{k-1},C_k^k)^t$，
$A=(e_1,e_2,\cdots,e_k,e_{k+1})$,其中列向量$e_i$由以下规则定义：$e_i=(C_i^0,C_i^1,C_i^2,\cdots,C_i^{i-1},\cdots,C_i^k)^t$，并且当$k \ge i$时，$C_i^k=0$