【域名四周年】7.16纪念帖&答题任务

castelu

各位会员：
　　今天是“数学之家”顶级域名2math.cn注册四周年的纪念日，我们预祝：

“数学之家”四年盛典，高速发展！

www.2math.cn

一、纪念任务：
　　2012年7月16日，凡是在本帖内回复的注册会员均可获得：
（1）积分：数学币 2元
（2）勋章：活动积极奖　有效期 90 天

二、答题任务：
　　数论：13个不同的自然数的和是996，且这些数的各位数码之和都彼此相等，求这13个数。

1、答题任务对于每一位注册会员都是可供选择参与的。
2、答题任务的答案请回复提交于本帖。
3、答题任务截止日期：2012年7月31日。我们将以最早回复并且回答正确的注册会员作为获奖者，可获得：
（1）积分：威望 5点
（2）勋章：解题高手奖　有效期 180 天
4、“数学之家”门户网站具有本活动的最终解释权。

活动期间，欢迎登陆“数学之家”YY频道：11810199
探讨试题，共度“数学之家”四周年盛典。

2012.7.16

zhangyuong

求题目

无穷小量

热烈支持啊

epsilon

{:G06:}{:G06:}

lzb0408002

来晚了啊..

极光

怎么能少了我啊

castelu

感谢你们的支持

zhangyuong

(1)不妨先给这些数排序：$a_{13}<a_{12}<\cdots<a_1$
首先设这些相等的数字和为$b$，那么由$a_1+a_2+\cdots+a_{13}=996$，等式两边取对$9$的模有：
$13b \equiv 6(mod 9)$，但是$b$对9的模只有数字$1$到$8$，经试验可知，$b \equiv 6(mod 9)$
因此数字和都是$9k+6$的形式。
(2)以$s(a)$表示$a$的数字和,有$a_i-a_{j \equiv s{a_i}}-s(a_j)\equiv 0(mod 9)$，因而他们之间的差是$9$的倍数，从而$a_{n+1}-a_n \ge 9$，所以有一连串不等式：
$a_1 \ge a_2+9 \ge a_3+18 \ge \cdots \ge a_13+9 \times 12$
所以由$996=a_1+a_2+\cdots+a_{13} \ge 13a_13+9(1+2+\cdots+12)$可得：
$a_{13} \le \frac{996-9(1+2+\cdots+12)}{13}$，从而$a_{13} \le 22$，但由$s(a_{13})\equiv 6(mod 9)$可知
$a_{13}=6$或$a_{13}=15$
但是无论哪种均有$s(a_{13})=6$，因此$s(a_i)=6(i=1,2,\cdots,13)$
(3)因而只需要讨论数字和为$6$的数即可：
由于最小的数字和为$6$的前$13$个数有：
$6,15,24,33,42,51,60,105,114,123,132,141,150$
所以$996=a_{13}+a_{12}+\cdots+a_1 \ge 6+15+24+33+42+51+60+105+114+123+132+141+150=996$
所以这个不等式其实是一个等式
因而有唯一解：
$(a_1,a_2,\cdots,a_{13})=(150,141,\cdots,6)$

望望123

{:G06:}{:G10:}

nagisaclannad

哈哈 支持支持 ！！！