符号函数的分析表达式2

castelu

符号函数的分析表达式2

　　我们知道，符号函数$f(x)={\rm sgn} x$是数学分析中重要的函数，除了利用分段函数的形式表示以外，它在闭区间$[-\pi,\pi]$上还有一种无穷级数的分析表达式：${\rm sgn}x=\frac{4}{\pi} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1} \sin (2n-1)x$（$-\pi<x<\pi$）。
　　我们证明${\rm sgn}x=\frac{4}{\pi} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1} \sin (2n-1)x$（$-\pi<x<\pi$）：
由于函数$f(x)={\rm sgn}x$是按段光滑的，可以在闭区间$[-\pi,\pi]$上展开成Fourier级数。
$$a_0=0，n=0,1,2,\cdot$$
$$b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} {\rm sgn}x \sin nx {\rm d}x=
\left\{ \begin{array}{l}
0,n为偶数\\
\frac{4}{n\pi},n为奇数
\end{array} \right.
$$
由于$f(x)$在不连续点$x=0$处满足
$$f(0)=\frac{f(-0)+f(+0)}{2}$$
由收敛定理得到
$${\rm sgn}x=\frac{4}{\pi} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1} \sin (2n-1)x（-\pi<x<\pi）$$