三角级数求和

castelu

三角级数求和

　　我们知道，三角级数$S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n}$是常见的函数项级数。但是，它的和函数有非常简单的表达式。
　　我们计算$S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n}$的和函数：
由于$S(x)$有周期$2\pi$，且有$S(0)=S(2\pi)=0$，因此只需在开区间$(0,2\pi)$上求$S(x)$
这时先计算级数的部分和序列$S_n(x)$
$$S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{\sin kx}{k}=\sum\limits_{k=1}^{n} \int_0^x \cos kt{\rm d}t=\int_0^x (\sum\limits_{k=1}^{n} \cos kt){\rm d}t$$
$$=\int_0^x \frac {\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin \frac{t}{2}}-\frac{1}{2}{\rm d}t$$
（证明：http://www.2math.cn/thread-3980-1-2.html）
$$=\int_0^x \frac{\sin (n+\frac{1}{2})t}{2\sin \frac{t}{2}}{\rm d}t-\frac{x}{2}$$
利用$S(\pi)=0$就有公式
$$\int_0^{\pi} \frac{\sin (n+\frac{1}{2})t}{2\sin \frac{t}{2}}{\rm d}t=\frac{\pi}{2}$$
合并以上计算就得到
$$S_n(x)=\frac{\pi-x}{2}-\int_x^{\pi} \frac{\sin (n+\frac{1}{2})t}{2\sin \frac{t}{2}}{\rm d}t$$
由于$x \in (0,2\pi)$，函数$\frac{1}{2\sin \frac{t}{2}}$在区间$[\pi,x]$上常义可积，因此只要对最后一个积分用Riemann引理，就得到和函数的表达式为
$$S(x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}S_n(x)=\frac{\pi-x}{2}，x \in (0,2\pi)$$