数项级数∑1/(n^n)的等价表达式

castelu

数项级数∑1/(n^n)的等价表达式

　　我们知道，数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n}$的值不易计算。但是，我们可以计算与它等价的积分表达式。
　　我们计算与数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n}$等价的积分表达式：
根据恒等式
$$x^{-x}=e^{-x\ln x}$$
等式右边展开成Taylor级数
$$x^{-x}=1+\sum\limits_{m=1}^{\infty} (-1)^m \frac{x^m(\ln x)^m}{m!}$$
等式两边取$0$至$1$的积分
$$\int_0^1 x^{-x}{\rm d}x=1+\int_0^1 \sum\limits_{m=1}^{\infty} (-1)^m \frac{x^m(\ln x)^m}{m!}{\rm d}x$$
$$\int_0^1 x^{-x}{\rm d}x=1+\sum\limits_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!} \int_0^1 x^m(\ln x)^m{\rm d}x$$
（一致收敛，交换积分与求和次序）
$$\int_0^1 x^{-x}{\rm d}x=1+\sum\limits_{m=1}^{\infty} \frac{1}{(m+1)^{m+1}}$$
$$\int_0^1 \frac{1}{x^x}{\rm d}x=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n}$$