证明调和级数∑1/n发散

castelu

证明调和级数∑1/n发散

　　我们知道，调和级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$是数学分析中重要的概念，它是证明其他数项级数敛散性的比较依据。证明调和级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$发散的方法很多，通常方法是利用Cauchy收敛准则。
　　我们利用利用Cauchy收敛准则证明调和级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$发散。
设$u_n=\frac{1}{n}$，考察调和级数第$m+1$项至第$2m$项和的绝对值
$$|u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots+u_{2m}|=|\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2}+\cdots+\frac{1}{2m}|$$
$$\ge |\frac{1}{2m}+\frac{1}{2m}+\cdots+\frac{1}{2m}|=\frac{1}{2}。$$
因此，取$\epsilon_0=\frac{1}{2}$，对任何正整数$N$，只要$m>N$就有上式成立。根据Cauchy收敛准则，调和级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$发散。