计算数项级数∑1/n^2的值

castelu

计算数项级数∑1/n^2的值

　　我们知道，数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$是常见的收敛级数。但是，它的求和结果与圆周率$\pi$有关。
　　我们计算数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$的值：
根据$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n}=\frac{\pi-x}{2}$，$x \in (0,2\pi)$
（证明：http://www.2math.cn/thread-3973-1-1.html）
取$\epsilon \in (0,\pi)$，则在区间$[\epsilon,\pi]$上有
$$\frac{\pi-x}{2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n}$$
将上式两边在区间$[\epsilon,\pi]$上积分
$$\int_{\epsilon}^{\pi} \frac{\pi-x}{2} {\rm d}x=\int_{\epsilon}^{\pi} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nx}{n} {\rm d}x$$
$$\int_{\epsilon}^{\pi} \frac{\pi-x}{2} {\rm d}x=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \int_{\epsilon}^{\pi} \sin nx {\rm d}x（一致收敛，交换积分与求和次序）$$
$$\int_{\epsilon}^{\pi} \frac{\pi-x}{2} {\rm d}x=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \cos n\epsilon$$
令$\epsilon \to 0^+$
$$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0+} \int_{\epsilon}^{\pi} \frac{\pi-x}{2} {\rm d}x=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}+\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0+} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \cos n\epsilon$$
$$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0+} \int_{\epsilon}^{\pi} \frac{\pi-x}{2} {\rm d}x=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0+} \cos n\epsilon（一致收敛，交换极限与求和次序）$$
$$\frac{\pi^2}{4}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$
记级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$之和为$S$，则利用
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}-2\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2}=S-\frac{S}{2}=\frac{S}{2}$$
就有
$$\frac{\pi^2}{4}=\frac{3S}{2}$$
从而得到
$$S=\frac{\pi^2}{6}$$
即
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$