不定积分中常见的递推关系式

castelu

不定积分中常见的递推关系式

　　我们知道，不定积分是数学分析中重要的概念，除了传统计算不定积分的方法以外，某些不定积分还可以利用递推公式计算。
　　我们介绍可以利用递推公式计算的不定积分：
记$I_n=\int \frac{1}{(a^2+x^2)^n}{\rm d}x$，试证递推公式
$$I_n=\frac{x}{2(n-1)a^2(a^2+x^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-2)a^2}I_{n-1}，n=2,3,\cdots。$$
证　利用分部积分法，有
$$I_n=\int \frac{1}{(a^2+x^2)^n}{\rm d}x$$
$$=\frac{x}{(a^2+x^2)^n}+2n\int \frac{x^2}{(a^2+x^2)^{n+1}}{\rm d}x$$
$$=\frac{x}{(a^2+x^2)^n}+2nI_n-2na^2I_{n+1}$$
移项后
$$I_{n+1}=\frac{x}{2na^2(a^2+x^2)^n}+\frac{2n-1}{2na^2}I_n$$
或
$$I_n=\frac{x}{2(n-1)a^2(a^2+x^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-1)a^2}I_{n-1}，n=2,3,\cdots$$

例　求不定积分$\int \frac{1}{(a^2+x^2)^2}{\rm d}x$
$$\int \frac{1}{(a^2+x^2)^2}{\rm d}x$$
$$=\frac{x}{2a^2(a^2+x^2)}+\frac{1}{2a^2}\int \frac{1}{a^2+x^2}{\rm d}x$$
$$=\frac{x}{2a^2(a^2+x^2)}+\frac{1}{2a^3}\arctan \frac{x}{a}+C$$