不等式证明题

极光

已知函数$f(x)=x^a-\ln x$，$a$是实数。当$a>\frac{1}{e}$时，$f(x)>a$恒成立，求证：
$1^{\frac{1}{1}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{9}} \cdot \cdots \cdot n^{\frac{1}{n^2}}<4$