凹函数基本问题

kuing · 发表于 2008-7-15 14:29:40

已知函数F(x)的定义域为D, 对于D上的任意x1, x2恒有
(F(x1)+F(x2))/2>=F((x1+x2)/2)
成立, 则称F(x)为D上的凹函数.

今有一R上的凹函数f(x), 试证明或否定：
对于任意R上的 q<m<n<p 且 m+n=q+p 都有
f(m)+f(n)<=f(q)+f(p)

开始 · 发表于 2008-7-16 05:14:13

定义貌似有问题
应该是[f(x1)+f(x2)]/2≥f[(x1+x2)/2]
过m,n做一直线，则此直线必与凹函数图像相交与两点，然后分别证明p,q在此直线的上方即可。

kuing · 发表于 2008-7-16 06:46:41

噢，不好意思，打错了。。。已修改。

kuing · 发表于 2008-9-5 15:09:24

2。。。

icesheep · 发表于 2008-9-5 17:02:30

定义就不对,得是连续的。仅仅满足那个不等式是不行的。

kuing · 发表于 2008-9-5 17:30:51

那如果没连续（不要叫凹函数就好了），那么结论还是否成立？

icesheep · 发表于 2008-9-5 17:35:22

http://www.2math.cn/thread-786-1-1.html
看这里我构造的反例吧

仍然没有构造出例子说明两个定义之间不等价。但是说明你这个题是错误的应该是够了。
另外，这个不是控制不等式么？

[ 本帖最后由 icesheep 于 2008-9-5 18:17 编辑 ]

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