三角形求角度

kuing

在三角形ABC中，AB=AC,延长AC至D,使得AD=BC,并且∠ABD=50°，求∠CBD的度数

石崇的BOSS

网络牛人牛解：
不妨设 AB = AC = 1。
设 AD = BC = x。
三角形 ABC 中，由正弦定理，有
    x / sin A = 1 / sin(90° - A/2)
在三角形 ABD 中，由余弦定理，有
    x² + 1² - 2 x cos A = BD²
又由正弦定理
    BD / sin A = x / sin 50°
以上几个方程利用三角关系化简，得到
    x = 2 sin(A/2)
    Sin(50°)² (x² + 1 - 2x[1- 1/2 x²))]= x⁴ (1 - x²/4)
后一式是关于 x 的多项式（六次）方程，可以数值求解。
数值解得（只保留 x > 0 的实根）
    x₁ = 1.53209    A₁ = 100°        从而所求角为 10°
    x₂ = 0.769261   A₂ = 45.2416°    从而所求角为 -17.3792°（负号代表方向不同）