函数与导数综合题

极光

已知函数$f(x)=\frac{1+\ln x}{x}$。
（1）若函数在区间$(a,a+\frac{1}{2})$上存在极值，其中$a>0$，求实数$a$的取值范围。
（2）如果当$x \ge 1$时，不等式$f(x) \ge \frac{k}{x+1}$恒成立，求实数$k$的取值范围。