复数和几何（1）

开始

略过数系的扩充我们直接来讨论复数系的一些性质和其与几何的简单关系。
                            复数
   实数的平方是非负数的，这使得，像x^2=-1这样的基本二次方程在实数的范围内便无解。于是人们引入了复数的一类新的数，以使这样的方程有解。同时复数的引入使得形如：
      A0+A1x+A2x^2+Anx^n=0
的一般的代数方程都有解，其中系数A0，A1，A2....An是任意实数。（这个事实称为代数基本定理。）
复数的定义：一个复数是用（x1,x2）表示的一个有序实数对。第一个数x1称为这个复数的实部，第二个数x2称为这个复数的虚部。两个复数x=(x1,x2)和y=(y1,y2)当且仅当x1=y1,x2=y2时相等（记为x=y）他们的和x+y及乘积xy分别用等式
      x+y=(x1+y1,x2+y2)和xy=(x1y1-x2y2,x1y2+x2y1)
来定义
定理1：如上定义的加法和乘法运算满足交换律，结合律和分配律。（此处在百度 百科 里可以找到有关数系扩充的说明）
定理2：(x1x2)+(0,0)=(x1x2)  (x1x2)(0,0)=(0,0)  (x1,x2)(1,0)=(x1,x2)  (x1,x2)+(-x1,-x2)=(0,0)
定理3：对于任何两个复数x和y都有
       (-x)y=x(-y)=-(xy)=(-1,0)(xy)
定义：如果x=(x1,x2)≠(0,0),y是复数，则定义
      x^(-1)=[x1/(x1^2+x^2)-x2/(x^2+x^2)],y/x=yx^(-1)
定理4：如果x与y都是复数，x≠(0,0),则存在一个复数z使得xz=y,即z=yx^(-1).
(虚部为0的复数的运算有特殊的意义，对于虚部为0的复数算术运算，可以用对它们的实部进行通常的实数运算的方法来进行。于是形如（x,0）的复数有与实数同样的算术性质。因此，宜把实数系看成是复数系的一种特殊情况，并承认复数（x,0）与实数x恒等。因此我们可以写x=(x,0).特别地，可以写0（0，0）和1=（1，0）。)
                    复数的几何表示
    就像实数可以几何地用直线上的点来表示一样，复数可以几何地用平面上的点来表示，可以把复数x=(x1,x2)想象为以（x1,x2）为坐标的“点”。这样表示之后，复数加法的定义便成为按平行四边形法则相加。